Intégrales de Wallis : calcul, récurrence et équivalent

Q: Qu'est-ce qu'une intégrale de Wallis ?

C'est l'intégrale W_n=∫_0^π/2sin^nt d t, égale aussi à ∫_0^π/2cos^nt d t. Elle vérifie nW_n=(n-1)W_n-2 et se calcule explicitement.

Q: Quelle est la valeur de l'intégrale de Wallis ?

W_2p=((2p)!)/(4^p(p!)^2)·fracπ2 et W_2p+1=(4^p(p!)^2)/((2p+1)!) ; par exemple W_2=fracπ4 et W_3=frac23.

Q: Quel lien entre les intégrales de Wallis et la formule de Stirling ?

La preuve de Stirling donne d'abord n!~ Csqrt n (n/e)^n ; en reportant dans W_2p=((2p)!)/(4^p(p!)^2)·fracπ2 et en comparant avec W_2p~√((π)/(4p)), on trouve C=√(2π).

Les intégrales de Wallis $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n t\,\dd t$ se calculent grâce à une relation de récurrence obtenue par intégration par parties. Leur équivalent $W_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}$ fournit la constante $\sqrt{2\pi}$ de la formule de Stirling et le produit de Wallis pour $\pi$ .

Classique, à redémontrerPremière année (MPSI, MP2I, PCSI) · Intégration ; suites

Énoncé

Proposition

Pour $n\in\N$ , on pose $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n t\,\dd t$ , qui est aussi égal à $\int_0^{\pi/2}\cos^n t\,\dd t$ (changement de variable $t\mapsto\frac\pi2-t$ ). Alors :

$W_0=\frac\pi2$ , $W_1=1$ et, pour $n\ge2$ , $W_n=\frac{n-1}{n}\,W_{n-2}$ .
Pour tout $p\in\N$ , $W_{2p}=\dfrac{(2p)!}{4^p\,(p!)^2}\cdot\dfrac\pi2$ et $W_{2p+1}=\dfrac{4^p\,(p!)^2}{(2p+1)!}$ .
La suite $(W_n)$ est strictement positive et décroissante, et $n\,W_n\,W_{n-1}=\frac\pi2$ pour tout $n\ge1$ .
$W_n\sim\sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ quand $n\to+\infty$ .

Démonstration

Récurrence. Pour $n\ge2$ , on intègre par parties $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}t\cdot\sin t\,\dd t$ en dérivant $\sin^{n-1}$ et en primitivant $\sin$ en $-\cos$ (fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ ) :

W_n=\Big[-\cos t\,\sin^{n-1}t\Big]_0^{\pi/2}+(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}t\,\cos^2t\,\dd t.

Le crochet est nul, car $\cos\frac\pi2=0$ et $\sin^{n-1}0=0$ pour $n-1\ge1$ . Avec $\cos^2=1-\sin^2$ , on obtient $W_n=(n-1)(W_{n-2}-W_n)$ , soit $nW_n=(n-1)W_{n-2}$ .

Valeurs. Par récurrence, $W_{2p}=\frac{2p-1}{2p}\cdot\frac{2p-3}{2p-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2$ . Le produit des pairs $2\cdot4\cdots(2p)$ vaut $2^pp!$ et celui des impairs $1\cdot3\cdots(2p-1)$ vaut $\frac{(2p)!}{2^pp!}$ , d'où la formule. De même, $W_{2p+1}=\frac{2p}{2p+1}\cdots\frac23\cdot1=\frac{2^pp!\cdot2^pp!}{(2p+1)!}$ .

Produit. $W_n>0$ comme intégrale d'une fonction continue, positive et non identiquement nulle. Sur $[0,\frac\pi2]$ , $0\le\sin t\le1$ , donc $\sin^{n+1}t\le\sin^nt$ et $W_{n+1}\le W_n$ . La suite $v_n=nW_nW_{n-1}$ vérifie $v_{n+1}=(n+1)W_{n+1}W_n=nW_{n-1}W_n=v_n$ grâce à la récurrence, donc $v_n=v_1=W_1W_0=\frac\pi2$ .

Équivalent. Par décroissance, $W_{n+1}\le W_n\le W_{n-1}$ , donc pour $n\ge1$

\frac{n}{n+1}=\frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}\le\frac{W_n}{W_{n-1}}\le1,

et $W_n\sim W_{n-1}$ . Alors $\frac\pi2=nW_nW_{n-1}$ et $nW_nW_{n-1}\sim nW_n^2$ , donc $W_n^2\sim\frac{\pi}{2n}$ et, comme $W_n>0$ , $W_n\sim\sqrt{\frac{\pi}{2n}}$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

On reconnaît une intégrale de Wallis après un changement de variable : $\int_0^1(1-t^2)^n\,\dd t=W_{2n+1}$ (poser $t=\sin\theta$ ) et, pour $n\ge1$ , $\int_0^{+\infty}\frac{\dd t}{(1+t^2)^n}=W_{2n-2}$ (poser $t=\tan\theta$ ). Pour une autre suite d'intégrales de puissances, on imite l'intégration par parties ci-dessus pour obtenir une relation de récurrence.

Exemples d'application

Produit de Wallis

D'après les valeurs exactes,

\frac{W_{2p+1}}{W_{2p}}=\frac2\pi\cdot\frac{(2^pp!)^4}{\big((2p)!\big)^2\,(2p+1)}=\frac2\pi\prod_{k=1}^{p}\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}.

Comme $W_{2p+1}\sim W_{2p}$ , ce quotient tend vers $1$ , d'où le produit de Wallis :

\frac\pi2=\lim_{p\to+\infty}\prod_{k=1}^{p}\frac{(2k)^2}{(2k-1)(2k+1)}=\lim_{p\to+\infty}\frac{2\cdot2}{1\cdot3}\cdot\frac{4\cdot4}{3\cdot5}\cdots\frac{2p\cdot2p}{(2p-1)(2p+1)}.

Vers l'intégrale de Gauss

Les changements de variable $x=\sqrt n\,t$ puis $t=\sin\theta$ donnent

\int_0^{\sqrt n}\Big(1-\frac{x^2}{n}\Big)^n\,\dd x=\sqrt n\int_0^1(1-t^2)^n\,\dd t=\sqrt n\,W_{2n+1}\longrightarrow\frac{\sqrt\pi}{2},

car $W_{2n+1}\sim\sqrt{\frac{\pi}{2(2n+1)}}\sim\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt n}$ . Comme $0\le\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\le e^{-x^2}$ sur $[0,\sqrt n]$ (inégalité $\ln(1+u)\le u$ ) et que $\left(1-\frac{x^2}n\right)^n\to e^{-x^2}$ pour tout $x\ge0$ , le théorème de convergence dominée donne $\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\,\dd x=\frac{\sqrt\pi}2$ .

Erreurs classiques

Oublier la condition $n\ge2$ dans la récurrence : pour $n=1$ , le crochet $\big[-\cos t\big]_0^{\pi/2}$ vaut $1$ et n'est pas nul.
Confondre les formules paire et impaire : $\pi$ n'apparaît que dans $W_{2p}$ , tandis que $W_{2p+1}$ est rationnel.
Déduire $W_n\sim W_{n-1}$ de la seule décroissance : une suite décroissante ne vérifie pas toujours $\frac{a_n}{a_{n-1}}\to1$ (par exemple $a_n=2^{-n}$ ). Il faut l'encadrement par $\frac{W_{n+1}}{W_{n-1}}=\frac{n}{n+1}$ .
Passer de $nW_nW_{n-1}=\frac\pi2$ à l'équivalent sans avoir établi $W_n\sim W_{n-1}$ .

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), chapitre « Intégration ; suites ».

Les intégrales de Wallis ne sont pas un théorème du programme mais un exercice classique, traité dans la plupart des cours. On redémontre la relation de récurrence (une intégration par parties) avant d'utiliser les valeurs exactes ou l'équivalent.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Limites, continuité, dérivabilité et intégration (786 sujets), Intégrales généralisées (415 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Centrale Mathématiques 1 PSI 2024 : Partie I : intégrale de Wallis et intégrale de Gauss
Centrale Mathématiques 2 PC 2024 : Partie II : exemples de calcul de produit infini
Mines Mathématiques 2 MP MPI 2023
E3A Mathématiques PSI 2022 : Exercice 3 : équation différentielle et intégrale à paramètre
X ENS Mathématiques B MP 2018 : Première partie : polynômes de Legendre
Mines Mathématiques 1 MP 2017 : Partie A : préliminaires

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une intégrale de Wallis ?

C'est l'intégrale $W_n=\int_0^{\pi/2}\sin^nt\,\dd t$ , égale aussi à $\int_0^{\pi/2}\cos^nt\,\dd t$ . Elle vérifie $nW_n=(n-1)W_{n-2}$ et se calcule explicitement.

Quelle est la valeur de l'intégrale de Wallis ?

$W_{2p}=\frac{(2p)!}{4^p(p!)^2}\cdot\frac\pi2$ et $W_{2p+1}=\frac{4^p(p!)^2}{(2p+1)!}$ ; par exemple $W_2=\frac\pi4$ et $W_3=\frac23$ .

Quel lien entre les intégrales de Wallis et la formule de Stirling ?

La preuve de Stirling donne d'abord $n!\sim C\sqrt n\,(n/e)^n$ ; en reportant dans $W_{2p}=\frac{(2p)!}{4^p(p!)^2}\cdot\frac\pi2$ et en comparant avec $W_{2p}\sim\sqrt{\frac{\pi}{4p}}$ , on trouve $C=\sqrt{2\pi}$ .

Intégrales de Wallis