Somme géométrique

Somme finie. Notons $S_n=\sum_{k=0}^nq^k$. Alors $qS_n=\sum_{k=1}^{n+1}q^k$ et, par télescopage,

Si $q\neq1$, on divise par $1-q\neq0$. Si $q=1$, la somme comporte $n+1$ termes égaux à $1$. La formule à partir de l'indice $p$ s'obtient en factorisant $q^p$ : $\sum_{k=p}^nq^k=q^p\sum_{j=0}^{n-p}q^j$.

Série géométrique. Si $|q|<1$, alors $|q^{n+1}|=|q|^{n+1}\to0$, donc $S_n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\to\frac{1}{1-q}$, et le reste vaut $\frac{1}{1-q}-S_n=\frac{q^{n+1}}{1-q}$. Si $|q|\ge1$, alors $|q^n|=|q|^n\ge1$ : le terme général ne tend pas vers $0$ et la série diverge grossièrement. Cela couvre $q=1$, $q=-1$ et tous les complexes de module $1$.

Factorisation. En développant,

(changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme). Les termes d'indices $1$ à $n-1$ se simplifient et il reste $a^n-b^n$.

• Identifier la raison $q$, le premier terme et le nombre de termes ; traiter à part le cas $q=1$.
• Pour une somme trigonométrique $\sum\cos(k\theta)$ ou $\sum\sin(k\theta)$, passer par $\sum e^{ik\theta}$, puis prendre la partie réelle ou imaginaire.
• La somme finie avec reste exact est un outil d'analyse : pour $t\neq-1$, $\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{n}(-t)^k+\frac{(-t)^{n+1}}{1+t}$. En intégrant sur $[0,1]$, le dernier terme est majoré par $\int_0^1t^{n+1}\dd t=\frac1{n+2}$, d'où $\sum_{k\ge1}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=\ln2$.
• Pour une matrice carrée $A$, l'égalité $(I-A)\sum_{k=0}^nA^k=I-A^{n+1}$ reste vraie, mais on ne peut diviser par $I-A$ que si cette matrice est inversible.

La formule de la somme géométrique finie et la convergence de la série géométrique, avec la valeur de sa somme, sont des résultats de cours de première année, utilisables directement. Ils servent en permanence en deuxième année (séries entières, algèbre linéaire, probabilités).