Série télescopique

Notons $T_N=\sum_{k=0}^N(u_{k+1}-u_k)$ la somme partielle d'indice $N$. Par télescopage, $T_N=u_{N+1}-u_0$. Ainsi $(T_N)$ converge si et seulement si $(u_{N+1})_N$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $(u_n)$ converge, et dans ce cas $\lim T_N=\ell-u_0$.

Pour le reste, on écrit de même, pour $N\ge n$, $\sum_{k=n}^N(u_{k+1}-u_k)=u_{N+1}-u_n$, qui tend vers $\ell-u_n$ quand $N\to+\infty$. La dernière affirmation découle directement de la définition des sommes partielles.

Pour calculer une somme : écrire le terme général sous la forme $u_{n+1}-u_n$ (décomposition en éléments simples, logarithme d'un quotient, différence d'arctangentes), puis passer à la limite dans $u_{N+1}-u_0$.

Pour montrer qu'une suite converge : étudier la série $\sum(u_{n+1}-u_n)$. Il suffit par exemple que $u_{n+1}-u_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, ou plus généralement que cette série soit absolument convergente. C'est la méthode de référence pour les suites du type $\sum_{k=1}^n f(k)-\int_1^n f$ ou $\ln\frac{n!\,e^n}{n^{n+1/2}}$ (formule de Stirling).

Le lien suite-série et les séries télescopiques font partie du cours sur les séries numériques et s'utilisent directement. En deuxième année, ils servent notamment à établir l'existence de la constante d'Euler ou la formule de Stirling.