Télescopage : sommes et produits télescopiques

Q: Qu'est-ce qu'un télescopage en maths ?

C'est la simplification d'une somme de différences a_k+1-a_k, ou d'un produit de quotients fraca_k+1a_k : les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux, comme les tubes d'une longue-vue qui se replient.

Q: Quelle est la formule du télescopage ?

Σ_k=p^n(a_k+1-a_k)=a_n+1-a_p et, pour des a_k non nuls, Π_k=p^nfraca_k+1a_k=fraca_n+1a_p.

Le télescopage consiste à écrire chaque terme d'une somme comme une différence $a_{k+1}-a_k$ , ou chaque facteur d'un produit comme un quotient $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ : les termes intermédiaires se simplifient deux à deux et il ne reste que les extrémités. C'est la méthode standard pour calculer explicitement une somme ou un produit.

Au programmePremière année (MPSI, MP2I, PCSI) · Calculs algébriques (sommes et produits)

Énoncé

Proposition (sommes et produits télescopiques)

Soit $(a_k)$ une suite d'éléments de $\K$ et $p\le n$ deux entiers.

Somme télescopique.

\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p.

Produit télescopique. Si les $a_k$ sont non nuls,

\prod_{k=p}^n\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_p}.

Télescopage d'ordre 2. $\displaystyle\sum_{k=p}^n(a_{k+2}-a_k)=a_{n+2}+a_{n+1}-a_{p+1}-a_p$ : il reste deux termes à chaque extrémité.

Démonstration

Par linéarité, puis changement d'indice $j=k+1$ dans la première somme :

\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)=\sum_{j=p+1}^{n+1}a_j-\sum_{k=p}^na_k=a_{n+1}-a_p,

car les termes d'indices $p+1$ à $n$ figurent une fois dans chaque somme et se simplifient. Le produit se traite de même :

\prod_{k=p}^n\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\prod_{j=p+1}^{n+1}a_j}{\prod_{k=p}^na_k}=\frac{a_{n+1}}{a_p}.

Pour l'ordre 2, le changement d'indice $j=k+2$ donne $\sum_{j=p+2}^{n+2}a_j-\sum_{k=p}^na_k$ ; les termes d'indices $p+2$ à $n$ se simplifient et il reste $a_{n+1}+a_{n+2}-a_p-a_{p+1}$ . On peut aussi raisonner par récurrence sur $n$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Fraction rationnelle : décomposer en éléments simples, par exemple $\frac{1}{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$ , puis regrouper les termes pour faire apparaître $a_k-a_{k+1}$ .
Factorielles : $k\cdot k!=(k+1)!-k!$ donne $\sum_{k=1}^nk\cdot k!=(n+1)!-1$ .
Arctangente : pour $k\ge0$ , $\arctan(k+1)-\arctan k=\arctan\frac{1}{k^2+k+1}$ , car les deux membres sont dans $]0,\frac\pi2[$ et ont même tangente ; d'où $\sum_{k=0}^n\arctan\frac{1}{k^2+k+1}=\arctan(n+1)$ .
Logarithme : un produit télescopique de réels strictement positifs devient une somme télescopique par passage au logarithme, et réciproquement.

Exemples d'application

Une somme de fractions rationnelles

Pour $k\ge1$ , $\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{(k+2)-k}{k(k+1)(k+2)}=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$ . Par télescopage :

\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac12\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)=\frac12\left(\frac12-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right).

En particulier, la série correspondante converge et a pour somme $\frac14$ .

Un produit télescopique

Pour $k\ge2$ , on factorise $1-\frac{1}{k^2}=\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}=\frac{k-1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}$ . Pour $n\ge2$ :

\prod_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}\cdot\prod_{k=2}^n\frac{k+1}{k}=\frac1n\cdot\frac{n+1}{2}=\frac{n+1}{2n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}\frac12.

Erreurs classiques

Se tromper sur les termes restants : dans $\sum_{k=p}^n(a_{k+2}-a_k)$ , il reste deux termes à chaque extrémité, et non un.
Mal décomposer : $\frac{1}{k(k+2)}=\frac12\left(\frac1k-\frac1{k+2}\right)$ et non $\frac1k-\frac1{k+2}$ . Il faut toujours vérifier en réduisant au même dénominateur.
Couper une série télescopique en deux séries divergentes : écrire $\sum_{k\ge1}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=\sum_{k\ge1}\frac1k-\sum_{k\ge1}\frac1{k+1}$ n'a pas de sens. On télescope les sommes partielles, puis on passe à la limite.
Oublier qu'un produit télescopique exige des facteurs non nuls : si un $a_k$ s'annule, le quotient $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ n'est pas défini.

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I, PCSI), chapitre « Calculs algébriques (sommes et produits) ».

Les sommes et produits télescopiques font partie des techniques de calcul de première année et s'utilisent directement, à condition d'écrire clairement le changement d'indice. Les décompositions en éléments simples qui les préparent relèvent du chapitre sur les fractions rationnelles.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries numériques et familles sommables (224 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Centrale Mathématiques 2 PC 2024 : Partie II : exemples de calcul de produit infini
Centrale Mathématiques 2 PSI 2024 : Partie III : une première expression intégrale
E3A Mathématiques PSI 2022 : Exercice 1 : une loi de probabilité sur les entiers
Mines Mathématiques 2 MP 2022 : Partie 2 : formule de Trotter-Kato
X ENS Mathématiques B MP 2011 : Deuxième partie : transformée d'Euler

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un télescopage en maths ?

C'est la simplification d'une somme de différences $a_{k+1}-a_k$ , ou d'un produit de quotients $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ : les termes intermédiaires s'éliminent deux à deux, comme les tubes d'une longue-vue qui se replient.

Quelle est la formule du télescopage ?

$\sum_{k=p}^n(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p$ et, pour des $a_k$ non nuls, $\prod_{k=p}^n\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{a_{n+1}}{a_p}$ .

Comment reconnaître un produit télescopique ?

On factorise chaque facteur pour faire apparaître des quotients de la forme $\frac{a_{k+1}}{a_k}$ , comme $1-\frac1{k^2}=\frac{k-1}{k}\cdot\frac{k+1}{k}$ . Pour des facteurs strictement positifs, on peut aussi passer au logarithme et chercher une somme télescopique.

Télescopage

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Une somme de fractions rationnelles

Un produit télescopique

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un télescopage en maths ?

Quelle est la formule du télescopage ?

Comment reconnaître un produit télescopique ?

Exercices corrigés utilisant : Télescopage

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