Règle de Raabe-Duhamel

Version forte. Posons $v_n=\ln(n^\alpha u_n)=\alpha\ln n+\ln u_n$ pour $n\ge1$. Alors

D'une part, $\alpha\ln\left(1+\frac1n\right)=\frac{\alpha}{n}+O\left(\frac1{n^2}\right)$. D'autre part, $x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}-1=-\frac{\alpha}{n}+O\left(\frac1{n^2}\right)$ tend vers $0$ et vérifie $x_n=O\left(\frac1n\right)$ ; comme $\ln(1+x)=x+O(x^2)$ quand $x\to0$, on obtient $\ln\frac{u_{n+1}}{u_n}=x_n+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=-\frac{\alpha}{n}+O\left(\frac1{n^2}\right)$. Donc

La série $\sum(v_{n+1}-v_n)$ est absolument convergente par comparaison à la série de Riemann $\sum\frac1{n^2}$, donc la suite $(v_n)$ converge vers un réel $\ell$ (lien suite-série). Par continuité de l'exponentielle, $n^\alpha u_n\to e^\ell=C>0$, c'est-à-dire $u_n\sim\frac{C}{n^\alpha}$. Les séries à termes positifs $\sum u_n$ et $\sum\frac{1}{n^\alpha}$ ont alors même nature : convergence si et seulement si $\alpha>1$.

Version faible, cas $\alpha>1$. Fixons $\gamma$ tel que $1<\gamma<\alpha$ et posons $w_n=\frac{1}{n^\gamma}$. Alors $\frac{w_{n+1}}{w_n}=\left(1+\frac1n\right)^{-\gamma}=1-\frac{\gamma}{n}+o\left(\frac1n\right)$, donc

qui est strictement négatif à partir d'un rang $N$ puisque $\gamma-\alpha<0$. Pour $n\ge N$, en multipliant par $\frac{u_n}{w_{n+1}}>0$, on obtient $\frac{u_{n+1}}{w_{n+1}}\le\frac{u_n}{w_n}$ : la suite $\left(\frac{u_n}{w_n}\right)_{n\ge N}$ est décroissante, d'où $u_n\le\frac{u_N}{w_N}\,w_n$ pour $n\ge N$. Comme $\sum w_n$ converge, $\sum u_n$ converge.

Version faible, cas $\alpha<1$. On choisit $\gamma$ tel que $\alpha<\gamma<1$. Le même calcul donne $\frac{u_{n+1}}{u_n}\ge\frac{w_{n+1}}{w_n}$ à partir d'un rang $N$, donc $u_n\ge\frac{u_N}{w_N}\,w_n$ pour $n\ge N$, et $\sum u_n$ diverge puisque $\sum w_n$ diverge ($\gamma<1$).

Cas $\alpha=1$ de la version faible. Les suites $\left(\frac1n\right)$ et $\left(\frac{1}{n\ln^2n}\right)_{n\ge2}$ vérifient toutes deux l'hypothèse avec $\alpha=1$, alors que la première série diverge et la seconde converge (séries de Bertrand).

• Penser à la règle lorsque $u_n$ est un produit, un quotient de factorielles ou de coefficients binomiaux, ou est défini par $u_{n+1}=r(n)\,u_n$ avec $r$ fraction rationnelle telle que $r(n)\to1$.
• Développer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à la précision $O\left(\frac1{n^2}\right)$ pour lire $\alpha$.
• Dans une copie, ne pas citer la règle : poser $v_n=\ln(n^\alpha u_n)$, montrer que $v_{n+1}-v_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$ et conclure. On obtient au passage un équivalent de $u_n$, plus précis que la seule nature de la série.

La règle de Raabe-Duhamel n'est pas au programme officiel. Elle ne peut pas être citée : il faut la redémontrer en devoir ou à l'oral, ce qui revient le plus souvent à étudier directement la suite $\ln(n^\alpha u_n)$ comme dans la démonstration ci-dessous.