Séries de Bertrand : convergence et démonstration

Q: Quand une série de Bertrand converge-t-elle ?

La série Σ(1)/(n^α(ln n)^β) converge si et seulement si α>1, ou α=1 et β>1. Dans tous les autres cas, elle diverge.

Q: Quel lien entre séries et intégrales de Bertrand ?

Les conditions de convergence en +∞ sont identiques. Pour α=1 et β>0, la série Σ(1)/(n(ln n)^β) et l'intégrale ∫_e^+∞(d t)/(t(ln t)^β) ont même nature par comparaison série-intégrale.

Les séries de Bertrand, de terme général $\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ , prolongent l'échelle des séries de Riemann. Elles servent de référence lorsque le terme général d'une série à termes positifs contient un logarithme, en particulier dans le cas limite $\alpha=1$ , où la comparaison aux seules séries de Riemann ne permet pas de conclure.

Classique, à redémontrerPremière année (MPSI, MP2I), repris en deuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries numériques

Énoncé

Théorème (séries de Bertrand)

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels. La série à termes positifs

\sum_{n\ge 2}\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}

converge si et seulement si

\alpha>1\qquad\text{ou}\qquad(\alpha=1\ \text{et}\ \beta>1).

Autrement dit : si $\alpha\neq1$ , seul $\alpha$ compte, comme pour une série de Riemann ; si $\alpha=1$ , c'est $\beta$ qui décide, avec le même seuil $1$ . La série commence à $n=2$ car $\ln 1=0$ .

Démonstration

Notons $u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}>0$ pour $n\ge2$ . On compare à une série de Riemann lorsque $\alpha\neq1$ , et à une intégrale lorsque $\alpha=1$ .

Cas $\alpha>1$ . On pose $\gamma=\frac{1+\alpha}{2}$ , de sorte que $1<\gamma<\alpha$ . Alors

n^\gamma u_n=\frac{1}{n^{\alpha-\gamma}(\ln n)^\beta}\xrightarrow[n\to+\infty]{}0

par croissances comparées, car $\alpha-\gamma>0$ (si $\beta<0$ , le facteur $(\ln n)^{-\beta}$ est négligeable devant $n^{\alpha-\gamma}$ ). Ainsi $u_n=o\left(\frac{1}{n^\gamma}\right)$ avec $\gamma>1$ : la série de Riemann $\sum\frac{1}{n^\gamma}$ converge, donc $\sum u_n$ converge par comparaison de séries à termes positifs.

Cas $\alpha<1$ . Avec le même $\gamma=\frac{1+\alpha}{2}$ , on a cette fois $\alpha<\gamma<1$ et $n^\gamma u_n=\frac{n^{\gamma-\alpha}}{(\ln n)^\beta}\to+\infty$ . Il existe donc un rang $N$ tel que $u_n\ge\frac{1}{n^\gamma}\ge\frac1n$ pour $n\ge N$ . La série harmonique diverge, donc $\sum u_n$ diverge.

Cas $\alpha=1$ et $\beta\le0$ . Pour $n\ge3$ , $\ln n\ge1$ , donc $(\ln n)^{-\beta}\ge1$ et $u_n\ge\frac1n$ : la série diverge.

Cas $\alpha=1$ et $\beta>0$ . La fonction $f:t\mapsto\frac{1}{t(\ln t)^\beta}$ est continue, positive et décroissante sur $[2,+\infty[$ , comme produit des deux fonctions positives décroissantes $t\mapsto\frac1t$ et $t\mapsto(\ln t)^{-\beta}$ . Pour $k\ge3$ , la décroissance donne $\int_k^{k+1}f\le f(k)\le\int_{k-1}^k f$ , d'où en sommant, pour $n\ge3$ :

\int_3^{n+1}f(t)\dd t\ \le\ \sum_{k=3}^n u_k\ \le\ \int_2^n f(t)\dd t.

Les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum u_k$ sont donc majorées si et seulement si la fonction croissante $x\mapsto\int_2^x f$ est majorée, c'est-à-dire admet une limite finie en $+\infty$ . Or une primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ est

F(t)=\frac{(\ln t)^{1-\beta}}{1-\beta}\ \ \text{si }\beta\neq1,\qquad F(t)=\ln(\ln t)\ \ \text{si }\beta=1,

qui admet une limite finie en $+\infty$ si et seulement si $\beta>1$ (elle tend vers $0$ si $\beta>1$ , vers $+\infty$ si $0<\beta\le1$ ). D'où la convergence de $\sum u_n$ si et seulement si $\beta>1$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

On se ramène à une série de Bertrand par un équivalent : si $u_n\ge0$ et $u_n\sim\frac{C}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ avec $C>0$ , alors $\sum u_n$ a la nature de la série de Bertrand correspondante.

Si $\alpha\neq1$ , il est souvent plus rapide de refaire directement la comparaison à $\frac{1}{n^\gamma}$ avec $\gamma$ strictement compris entre $1$ et $\alpha$ (on étudie la limite de $n^\gamma u_n$ ).
Si $\alpha=1$ , on redémontre le résultat par comparaison série-intégrale, avec la primitive $\frac{(\ln t)^{1-\beta}}{1-\beta}$ ou $\ln(\ln t)$ .

Exemples d'application

Un logarithme au numérateur

Soit $u_n=\frac{\sqrt n\,\ln n}{n^2+1}$ pour $n\ge1$ . On a $u_n\ge0$ et $u_n\sim\frac{\ln n}{n^{3/2}}=\frac{1}{n^{3/2}(\ln n)^{-1}}$ : c'est une série de Bertrand avec $\alpha=\frac32>1$ et $\beta=-1$ , donc convergente.

Rédaction directe, sans citer le résultat : $n^{5/4}u_n\sim\frac{\ln n}{n^{1/4}}\to0$ , donc $u_n=o\left(\frac1{n^{5/4}}\right)$ et $\sum u_n$ converge par comparaison à une série de Riemann.

Une divergence très lente

La série $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n\ln n}$ diverge ( $\alpha=\beta=1$ ). Avec $f(t)=\frac{1}{t\ln t}$ , décroissante sur $[2,+\infty[$ et de primitive $\ln(\ln t)$ , l'encadrement de la démonstration donne pour $n\ge3$ :

\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln 3)\ \le\ \sum_{k=3}^n\frac{1}{k\ln k}\ \le\ \ln(\ln n)-\ln(\ln2).

Comme $\ln(n+1)\sim\ln n$ , on a $\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln n)=\ln\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\to0$ , donc $\ln(\ln(n+1))\sim\ln(\ln n)$ . On en déduit $\sum_{k=2}^n\frac{1}{k\ln k}\sim\ln(\ln n)$ : les sommes partielles tendent vers $+\infty$ , mais extrêmement lentement.

Erreurs classiques

Croire que le logarithme est toujours négligeable : c'est vrai si $\alpha\neq1$ , mais pour $\alpha=1$ il décide de la nature. $\sum\frac{1}{n\ln n}$ diverge alors que $\sum\frac{1}{n(\ln n)^2}$ converge.
Majorer $\frac{1}{n\ln n}$ par $\frac1n$ pour conclure : une majoration par le terme général d'une série divergente ne prouve rien.
Appliquer la règle de d'Alembert : pour toute série de Bertrand, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to1$ , cas où la règle ne conclut pas. Même la règle de Raabe-Duhamel sous la forme $1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac1n\right)$ ne tranche pas le cas $\alpha=1$ .
Utiliser la comparaison série-intégrale pour $\beta<0$ sans précaution : $t\mapsto\frac{(\ln t)^{-\beta}}{t}$ n'est alors décroissante que sur $[e^{-\beta},+\infty[$ . D'où le traitement séparé de ce cas, par simple comparaison à $\frac1n$ .

Place dans le programme

Première année (MPSI, MP2I), repris en deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries numériques ».

Les séries de Bertrand ne figurent pas dans le programme officiel, contrairement aux séries de Riemann et à la comparaison série-intégrale. Le résultat ne peut donc pas être cité tel quel : il faut le redémontrer (au moins dans le cas utilisé) en devoir comme à l'oral, ce qui prend quelques lignes avec la démonstration ci-dessous.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries numériques et familles sommables (224 sujets).

Questions fréquentes

Quand une série de Bertrand converge-t-elle ?

La série $\sum\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$ , ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ . Dans tous les autres cas, elle diverge.

Les séries de Bertrand sont-elles au programme de prépa ?

Non, seules les séries de Riemann le sont. On peut utiliser les séries de Bertrand à condition de redémontrer le résultat, en quelques lignes : comparaison à une série de Riemann si $\alpha\neq1$ , comparaison à une intégrale si $\alpha=1$ .

Quel lien entre séries et intégrales de Bertrand ?

Les conditions de convergence en $+\infty$ sont identiques. Pour $\alpha=1$ et $\beta>0$ , la série $\sum\frac{1}{n(\ln n)^\beta}$ et l'intégrale $\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ ont même nature par comparaison série-intégrale.

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