Intégrales de Bertrand : convergence et démonstration

Q: Comment démontrer la convergence d'une intégrale de Bertrand ?

Si α≠1, on compare à une intégrale de Riemann ∫(d t)/(t^γ) avec γ strictement compris entre 1 et α. Si α=1, le changement de variable u=ln t ramène à l'intégrale de Riemann ∫_1^+∞(d u)/(u^β).

Q: Qu'appelle-t-on critère de Bertrand ?

C'est l'énoncé ci-dessus, ou sa version pour les séries : convergence en +∞ si et seulement si α>1, ou α=1 et β>1. Il n'est pas au programme et se redémontre à chaque usage.

Q: Série ou intégrale de Bertrand : quelle différence ?

Les conditions de convergence en +∞ sont les mêmes. On passe de l'une à l'autre par comparaison série-intégrale, ce qui est d'ailleurs la façon usuelle de traiter la série dans le cas α=1.

Les intégrales de Bertrand $\int\frac{\dd t}{t^\alpha|\ln t|^\beta}$ sont, après les intégrales de Riemann, les intégrales de référence pour étudier une intégrale impropre dont l'intégrande contient un logarithme, en $+\infty$ ou en $0$ . Elles tranchent notamment le cas limite $\alpha=1$ .

Classique, à redémontrerDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Intégration sur un intervalle quelconque

Énoncé

Théorème (intégrales de Bertrand)

Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels. Les intégrandes ci-dessous sont continues et positives sur les intervalles indiqués.

En $+\infty$ . L'intégrale $\displaystyle\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha>1$ , ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ .

En $0$ . L'intégrale $\displaystyle\int_0^{1/e}\frac{\dd t}{t^\alpha|\ln t|^\beta}$ converge si et seulement si $\alpha<1$ , ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ .

Dans le cas $\alpha=1$ , $\beta>1$ , on a de plus

\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}=\int_0^{1/e}\frac{\dd t}{t|\ln t|^\beta}=\frac{1}{\beta-1}.

Les bornes $e$ et $\frac1e$ garantissent $|\ln t|\ge1$ : seule compte la borne impropre ( $+\infty$ ou $0$ ).

Démonstration

Les intégrandes étant positives, convergence et intégrabilité coïncident, et l'on peut utiliser les théorèmes de comparaison (domination, équivalents).

En $+\infty$ , cas $\alpha\neq1$ . Notons $f(t)=\frac{1}{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ et $\gamma=\frac{1+\alpha}{2}$ , strictement compris entre $1$ et $\alpha$ . Par croissances comparées :

si $\alpha>1$ , $t^\gamma f(t)=\frac{1}{t^{\alpha-\gamma}(\ln t)^\beta}\to0$ , donc $f(t)=o\left(\frac{1}{t^\gamma}\right)$ avec $\gamma>1$ : l'intégrale converge par comparaison à une intégrale de Riemann ;
si $\alpha<1$ , $t^\gamma f(t)=\frac{t^{\gamma-\alpha}}{(\ln t)^\beta}\to+\infty$ , donc $f(t)\ge\frac{1}{t^\gamma}$ au voisinage de $+\infty$ , avec $\gamma<1$ : l'intégrale diverge.

En $+\infty$ , cas $\alpha=1$ . Le changement de variable $u=\ln t$ , bijection de classe $\mathcal{C}^1$ strictement croissante de $[e,+\infty[$ sur $[1,+\infty[$ , avec $\dd u=\frac{\dd t}{t}$ , montre que

\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}\qquad\text{et}\qquad\int_1^{+\infty}\frac{\dd u}{u^\beta}

sont de même nature, et égales en cas de convergence. L'intégrale de Riemann de droite converge si et seulement si $\beta>1$ , et vaut alors $\frac{1}{\beta-1}$ .

En $0$ . Le changement de variable $t=\frac1u$ , bijection de classe $\mathcal{C}^1$ strictement décroissante de $[e,+\infty[$ sur $]0,\frac1e]$ , avec $\dd t=-\frac{\dd u}{u^2}$ et $|\ln t|=\ln u$ , donne des intégrales de même nature et

\int_0^{1/e}\frac{\dd t}{t^\alpha|\ln t|^\beta}=\int_e^{+\infty}\frac{u^\alpha}{(\ln u)^\beta}\,\frac{\dd u}{u^2}=\int_e^{+\infty}\frac{\dd u}{u^{2-\alpha}(\ln u)^\beta}.

D'après l'étude en $+\infty$ , elle converge si et seulement si $2-\alpha>1$ , ou $2-\alpha=1$ et $\beta>1$ , c'est-à-dire $\alpha<1$ , ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ . Pour $\alpha=1$ , sa valeur est alors $\frac{1}{\beta-1}$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Repérer la borne impropre et le facteur logarithmique, puis se ramener par équivalent (intégrande positive) à $\frac{1}{t^\alpha|\ln t|^\beta}$ .
Si $\alpha\neq1$ , refaire la comparaison à $\frac{1}{t^\gamma}$ avec $\gamma$ strictement compris entre $1$ et $\alpha$ .
Si $\alpha=1$ , poser $u=\ln t$ , ou utiliser directement la primitive $\frac{(\ln t)^{1-\beta}}{1-\beta}$ (ou $\ln|\ln t|$ si $\beta=1$ ).
Pour une série, la comparaison série-intégrale transfère le résultat aux séries de Bertrand.

Exemples d'application

Un calcul explicite en $0$

Sur $]0,\frac12]$ , la fonction $t\mapsto\frac{1}{t\ln^2 t}$ est continue et positive, et $t\mapsto-\frac{1}{\ln t}$ en est une primitive. Comme $-\frac{1}{\ln t}\to0$ quand $t\to0^+$ ,

\int_0^{1/2}\frac{\dd t}{t\ln^2t}=\left[-\frac{1}{\ln t}\right]_0^{1/2}=\frac{1}{\ln2}.

En revanche $\int_0^{1/2}\frac{\dd t}{t|\ln t|}$ diverge : une primitive de l'intégrande est $t\mapsto-\ln|\ln t|$ , qui tend vers $-\infty$ en $0^+$ .

Deux bornes impropres

Soit $\alpha\in\R$ et $f(t)=\frac{1}{t^\alpha(1+\ln^2t)}$ , continue et positive sur $]0,+\infty[$ . En $+\infty$ comme en $0^+$ , $f(t)\sim\frac{1}{t^\alpha\ln^2t}$ : intégrale de Bertrand avec $\beta=2>1$ . L'intégrale converge en $+\infty$ si et seulement si $\alpha\ge1$ , et en $0$ si et seulement si $\alpha\le1$ : $\int_0^{+\infty}f$ converge si et seulement si $\alpha=1$ . Dans ce cas, le changement de variable $u=\ln t$ donne

\int_0^{+\infty}\frac{\dd t}{t(1+\ln^2t)}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\dd u}{1+u^2}=\pi.

Erreurs classiques

Inverser les conditions en $0$ et en $+\infty$ : en $+\infty$ il faut $\alpha>1$ , en $0$ il faut $\alpha<1$ ; le cas $\alpha=1$ , $\beta>1$ est commun aux deux.
Écrire $(\ln t)^\beta$ au voisinage de $0$ : $\ln t<0$ et la puissance n'a pas de sens pour $\beta$ non entier. On utilise $|\ln t|^\beta$ .
Intégrer à partir de $1$ au lieu de $e$ : en $1$ , $\ln t\sim t-1$ , donc $\int_1^2\frac{\dd t}{t(\ln t)^\beta}$ diverge dès que $\beta\ge1$ , quel que soit le comportement en $+\infty$ .
Négliger le logarithme lorsque $\alpha=1$ : $\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t\ln t}$ diverge alors que $\int_e^{+\infty}\frac{\dd t}{t\ln^2t}$ converge.
Invoquer le résultat sans le redémontrer : il n'est pas au programme.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque ».

Seules les intégrales de Riemann $\int\frac{\dd t}{t^\alpha}$ sont des références du programme. Le résultat sur les intégrales de Bertrand doit être redémontré avant usage, en devoir comme à l'oral ; le changement de variable $u=\ln t$ le rend très rapide dans le cas $\alpha=1$ .

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Intégrales généralisées (415 sujets).

Questions fréquentes

Comment démontrer la convergence d'une intégrale de Bertrand ?

Si $\alpha\neq1$ , on compare à une intégrale de Riemann $\int\frac{\dd t}{t^\gamma}$ avec $\gamma$ strictement compris entre $1$ et $\alpha$ . Si $\alpha=1$ , le changement de variable $u=\ln t$ ramène à l'intégrale de Riemann $\int_1^{+\infty}\frac{\dd u}{u^\beta}$ .

Qu'appelle-t-on critère de Bertrand ?

C'est l'énoncé ci-dessus, ou sa version pour les séries : convergence en $+\infty$ si et seulement si $\alpha>1$ , ou $\alpha=1$ et $\beta>1$ . Il n'est pas au programme et se redémontre à chaque usage.

Série ou intégrale de Bertrand : quelle différence ?

Les conditions de convergence en $+\infty$ sont les mêmes. On passe de l'une à l'autre par comparaison série-intégrale, ce qui est d'ailleurs la façon usuelle de traiter la série dans le cas $\alpha=1$ .

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