Théorème d'approximation de Weierstrass

Q: Qu'est-ce que la fonction de Weierstrass ?

C'est un autre objet : la fonction W(x)=Σ_n≥0a^ncos(b^nπ x), avec 0 1+(3π)/(2), est continue (convergence normale) mais dérivable en aucun point. Comme toute fonction continue, elle est limite uniforme de polynômes sur tout segment.

Q: Qu'est-ce que le théorème de Stone-Weierstrass ?

Une généralisation hors programme : sur un espace compact K, toute sous-algèbre de C(K,R) qui contient les constantes et sépare les points est dense pour la norme uniforme (dans le cas complexe, il faut en plus la stabilité par conjugaison). Elle contient la version trigonométrique : toute fonction continue 2π-périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques.

Le théorème d'approximation de Weierstrass affirme que toute fonction continue sur un segment est limite uniforme de fonctions polynomiales. Il permet d'établir une propriété pour les polynômes, puis de l'étendre aux fonctions continues par passage à la limite.

Au programmeDeuxième année (MP) · Suites et séries de fonctions (approximation uniforme)

Énoncé

Théorème (approximation de Weierstrass)

Soit $[a,b]$ un segment de $\R$ et $f:[a,b]\to\K$ une fonction continue. Pour tout $\varepsilon>0$ , il existe une fonction polynomiale $P$ à coefficients dans $\K$ telle que

\sup_{x\in[a,b]}|f(x)-P(x)|\le\varepsilon.

De façon équivalente, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ : les fonctions polynomiales forment une partie dense de $\big(\mathcal{C}([a,b],\K),\|\cdot\|_\infty\big)$ .

Esquisse de démonstration

Réduction. Le changement de variable affine $x=a+(b-a)u$ transforme les polynômes en polynômes : on se ramène à $[0,1]$ . Pour $\K=\C$ , on traite séparément partie réelle et partie imaginaire. Soit donc $f:[0,1]\to\R$ continue et $M=\|f\|_\infty$ .

Polynômes de Bernstein. On pose $b_{n,k}(x)=\binom nk x^k(1-x)^{n-k}$ et

B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^n f\left(\frac kn\right)b_{n,k}(x).

Les $b_{n,k}$ sont positifs sur $[0,1]$ et, pour $x\in[0,1]$ , $b_{n,k}(x)=\mathbb{P}(X_n=k)$ où $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,x)$ . Son espérance $nx$ et sa variance $nx(1-x)$ donnent

\sum_{k=0}^n b_{n,k}(x)=1,\qquad\sum_{k=0}^n(k-nx)^2\,b_{n,k}(x)=nx(1-x).

Estimation. Soit $\varepsilon>0$ . Par le théorème de Heine, il existe $\delta>0$ tel que $|s-t|\le\delta\Rightarrow|f(s)-f(t)|\le\varepsilon$ . Pour $x\in[0,1]$ ,

|f(x)-B_n(f)(x)|\le\sum_{k=0}^n\left|f(x)-f\left(\frac kn\right)\right|b_{n,k}(x).

Les indices tels que $\left|\frac kn-x\right|\le\delta$ contribuent au plus $\varepsilon\sum_k b_{n,k}(x)\le\varepsilon$ . Pour les autres, $(k-nx)^2>n^2\delta^2$ , donc $\left|f(x)-f\left(\frac kn\right)\right|\le2M\le2M\frac{(k-nx)^2}{n^2\delta^2}$ , et leur contribution est au plus

\frac{2M}{n^2\delta^2}\sum_{k=0}^n(k-nx)^2\,b_{n,k}(x)=\frac{2M\,x(1-x)}{n\delta^2}\le\frac{M}{2n\delta^2}.

Ainsi $\|f-B_n(f)\|_\infty\le\varepsilon+\frac{M}{2n\delta^2}\le2\varepsilon$ dès que $n\ge\frac{M}{2\varepsilon\delta^2}$ . C'est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev appliquée à $\frac{X_n}{n}$ , puisque $B_n(f)(x)=\mathbb{E}\left[f\left(\frac{X_n}{n}\right)\right]$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Schéma type : pour montrer une propriété linéaire et continue pour la norme uniforme (une égalité d'intégrales, par exemple), on la vérifie sur les monômes $x^k$ , on l'étend aux polynômes par linéarité, puis aux fonctions continues par densité. Pour approcher $f$ par des polynômes d'une forme particulière (en $\cos\theta$ , pairs...), on applique le théorème à une fonction auxiliaire bien choisie.

Exemples d'application

Une fonction continue dont tous les moments sont nuls est nulle

Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1f(t)\,t^n\,\dd t=0$ pour tout $n\in\N$ . Par linéarité, $\int_0^1fP=0$ pour tout polynôme $P$ . Soit $(P_k)$ une suite de polynômes qui converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ . Alors

\left|\int_0^1f^2-\int_0^1fP_k\right|\le\|f\|_\infty\,\|f-P_k\|_\infty\xrightarrow[k\to+\infty]{}0,

donc $\int_0^1f^2=0$ . Comme $f^2$ est continue et positive, $f=0$ .

Approximation par des polynômes en $\cos\theta$

Soit $f:[0,\pi]\to\R$ continue. La fonction $g=f\circ\arccos$ est continue sur $[-1,1]$ ; soit $(P_n)$ une suite de polynômes qui converge uniformément vers $g$ sur $[-1,1]$ . Pour $\theta\in[0,\pi]$ , $g(\cos\theta)=f(\theta)$ , donc

\sup_{\theta\in[0,\pi]}|f(\theta)-P_n(\cos\theta)|\le\sup_{u\in[-1,1]}|g(u)-P_n(u)|\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.

Toute fonction continue sur $[0,\pi]$ est donc limite uniforme de polynômes en $\cos\theta$ , c'est-à-dire, par linéarisation, de combinaisons linéaires des $\cos(k\theta)$ .

Erreurs classiques

Appliquer le théorème sur $\R$ : si $P_n\to f$ uniformément sur $\R$ , il existe $N$ tel que, pour $n\ge N$ , $P_n-P_N$ soit un polynôme borné sur $\R$ , donc constant ; la limite $f$ est alors un polynôme. Ainsi $\exp$ et $\sin$ ne sont pas limites uniformes de polynômes sur $\R$ .
Oublier que l'intervalle doit être fermé et borné : $x\mapsto\sin\frac1x$ est continue et bornée sur $]0,1]$ mais n'y est pas limite uniforme de polynômes. Une suite de polynômes uniformément de Cauchy sur $]0,1]$ l'est sur $[0,1]$ par continuité, et sa limite se prolonge continûment en $0$ .
Croire que l'on peut borner le degré : les polynômes de degré au plus $d$ forment un sous-espace de dimension finie, donc fermé, et une limite uniforme de tels polynômes est encore un polynôme de degré au plus $d$ . Sauf si $f$ est polynomiale, les degrés des $P_n$ tendent vers $+\infty$ .
Croire que $P_n\to f$ uniformément entraîne $P_n'\to f'$ : rien de tel n'est garanti. Pour approcher à la fois $f$ et $f'$ ( $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ ), on approche $f'$ par des polynômes $Q_n$ et on pose $P_n(x)=f(a)+\int_a^xQ_n(t)\,\dd t$ .

Place dans le programme

Deuxième année (MP), chapitre « Suites et séries de fonctions (approximation uniforme) ».

L'énoncé figure au programme de MP. Sa démonstration n'est en général pas exigée : elle est souvent admise, ou traitée en exercice, par exemple avec les polynômes de Bernstein.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets), Topologie et espaces vectoriels normés (178 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

ENS Mathématiques C MP MPI 2024
X ENS Mathématiques PSI 2021 : Préliminaires
Mines Mathématiques 2 PSI 2019 : Partie II : théorème de Stone-Weierstrass
Mines Mathématiques 1 MP 2017 : Partie B : étude de la continuité de u et v
Mines Mathématiques 1 MP 2015 : Partie B : théorème d'approximation de Weierstrass
Mines Mathématiques 2 MP 2009 : Partie D : comparaison des normes N∞ et N2

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la fonction de Weierstrass ?

C'est un autre objet : la fonction $W(x)=\sum_{n\ge0}a^n\cos(b^n\pi x)$ , avec $0<a<1$ , $b$ entier impair et $ab>1+\frac{3\pi}{2}$ , est continue (convergence normale) mais dérivable en aucun point. Comme toute fonction continue, elle est limite uniforme de polynômes sur tout segment.

Qu'est-ce que le théorème de Stone-Weierstrass ?

Une généralisation hors programme : sur un espace compact $K$ , toute sous-algèbre de $\mathcal{C}(K,\R)$ qui contient les constantes et sépare les points est dense pour la norme uniforme (dans le cas complexe, il faut en plus la stabilité par conjugaison). Elle contient la version trigonométrique : toute fonction continue $2\pi$ -périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques.

Existe-t-il d'autres théorèmes de Weierstrass ?

Oui : le théorème de Bolzano-Weierstrass (toute suite bornée de $\R^n$ admet une suite extraite convergente) et, dans certains ouvrages, le théorème des bornes atteintes (une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes). Cette page traite du théorème d'approximation.

Faut-il connaître la démonstration ?

Elle n'est en général pas exigible, mais la preuve par les polynômes de Bernstein est un exercice classique : elle mobilise l'uniforme continuité et l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Exercices corrigés utilisant : Théorème d'approximation de Weierstrass

44 exercices

Théorème d'approximation de Weierstrass

Énoncé

Esquisse de démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Une fonction continue dont tous les moments sont nuls est nulle

Approximation par des polynômes en cos⁡θ\cos\thetacosθ

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Qu'est-ce que la fonction de Weierstrass ?

Qu'est-ce que le théorème de Stone-Weierstrass ?

Existe-t-il d'autres théorèmes de Weierstrass ?

Faut-il connaître la démonstration ?

Exercices corrigés utilisant : Théorème d'approximation de Weierstrass

Approximation polynomiale sur des compacts disjoints

Approximation simultanée des dérivées par des polynômes

Approximation uniforme par des fractions rationnelles

Norme associée aux moments d'une fonction

Approximation par des polynômes en cosinus

Approximation par des polynômes convexes

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Adhérence d'idéaux dans les fonctions continues

Théorème des moments sur un segment

Approximation par des polynômes de parité imposée

Densité des polynômes rationnels

Approximation polynomiale avec contraintes d'interpolation

Approximation simultanée des dérivées par des polynômes

Approximation simultanée d'une fonction et d'une dérivée

Approximation par encadrement polynomial

Caractérisation d'une fonction par ses moments pairs

Théorème de Weierstrass sur la droite réelle

Approximation polynomiale monotone

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Équirépartition et critère de Weyl

Approximation par des polynômes à coefficients positifs

Caractérisation des limites de suites de polynômes

Théorème de Chudnovsky sur l'approximation entière

Densité par translations et dilatations

Propriétés des fonctions presque périodiques de Bohr

Approximation de Laguerre et densité

Théorème de Stone-Weierstrass pour les algèbres

Théorème taubérien de Karamata et répartition de suites

Densité des polynômes pondérés par une exponentielle

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Nullité d'une fonction orthogonale aux polynômes

Convergence de la borne supérieure

Limite de l'infimum et convergence uniforme

Approximation uniforme par des exponentielles

Variante du théorème de Weierstrass sur un intervalle non borné

Convergence des moyennes de Hardy itérées

Adhérence des combinaisons d'exponentielles

Existence d'une suite universelle de polynômes

Existence d'un polynôme de signe imposé pour une intégrale nulle

Densité des polynômes dans l'espace C1

Approximation par des polynômes de parité fixée

Approximation de Weierstrass sous contraintes

Approximation par des polynômes à coefficients entiers

Nature de la limite uniforme de polynômes

Approximation par des polynômes en $\cos\theta$