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Produit de convolution

Le produit de convolution combine deux suites en sommant les produits apbqa_pb_q dont les indices ont une somme fixée, ou un produit fixé pour la convolution de Dirichlet. Il décrit le produit de deux séries : produit de Cauchy pour les séries numériques et les séries entières, produit de séries de Dirichlet en arithmétique.

Hors programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Séries numériques et familles sommables ; séries entières

Énoncé

Définitions et théorème

Convolution des suites. Pour deux suites complexes (an)n≥0(a_n)_{n\ge0} et (bn)n≥0(b_n)_{n\ge0}, on pose

cn=(a∗b)n=∑k=0nak bn−k=∑p+q=nap bq.c_n=(a*b)_n=\sum_{k=0}^{n}a_k\,b_{n-k}=\sum_{p+q=n}a_p\,b_q.

Théorème (produit de Cauchy). Si ∑an\sum a_n et ∑bn\sum b_n convergent absolument, alors ∑cn\sum c_n converge absolument et

∑n=0+∞cn=(∑n=0+∞an)(∑n=0+∞bn).\sum_{n=0}^{+\infty}c_n=\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}a_n\Big)\Big(\sum_{n=0}^{+\infty}b_n\Big).

Convolution de Dirichlet (hors programme). Pour f,g:N∗→Cf,g : \N^*\to\C, on pose

(f∗g)(n)=∑d∣nf(d) g(nd)=∑ab=nf(a) g(b).(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\,g\Big(\frac nd\Big)=\sum_{ab=n}f(a)\,g(b).

Elle est commutative, associative, et admet pour élément neutre la fonction δ\delta définie par δ(1)=1\delta(1)=1 et δ(n)=0\delta(n)=0 pour n≥2n\ge2. Si ∑f(n)ns\sum\frac{f(n)}{n^s} et ∑g(n)ns\sum\frac{g(n)}{n^s} convergent absolument, alors ∑(f∗g)(n)ns\sum\frac{(f*g)(n)}{n^s} converge absolument et sa somme est le produit des deux sommes.

Convolution des fonctions (hors programme de MP). Pour f,gf,g convenables sur R\R, on pose (f∗g)(x)=∫−∞+∞f(t) g(x−t) dt(f*g)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,g(x-t)\,\dd t.

Démonstration

Produit de Cauchy. Notons AN=∑k=0NakA_N=\sum_{k=0}^N a_k, BN=∑k=0NbkB_N=\sum_{k=0}^N b_k, αN=∑k=0N∣ak∣\alpha_N=\sum_{k=0}^N|a_k|, βN=∑k=0N∣bk∣\beta_N=\sum_{k=0}^N|b_k|, de limites respectives AA, BB, α\alpha, β\beta, et γn=∑p+q=n∣ap∣ ∣bq∣≥∣cn∣\gamma_n=\sum_{p+q=n}|a_p|\,|b_q|\ge|c_n|. Les inclusions d'ensembles d'indices

{(p,q):p,q≤⌊N/2⌋}⊂{(p,q):p+q≤N}⊂{(p,q):p,q≤N}\{(p,q) : p,q\le\lfloor N/2\rfloor\}\subset\{(p,q) : p+q\le N\}\subset\{(p,q) : p,q\le N\}

donnent α⌊N/2⌋β⌊N/2⌋≤∑n=0Nγn≤αNβN\alpha_{\lfloor N/2\rfloor}\beta_{\lfloor N/2\rfloor}\le\sum_{n=0}^N\gamma_n\le\alpha_N\beta_N. Les deux bornes tendent vers αβ\alpha\beta, donc ∑γn\sum\gamma_n converge vers αβ\alpha\beta et ∑cn\sum c_n converge absolument. Ensuite,

∣ANBN−∑n=0Ncn∣=∣∑p,q≤Np+q>Napbq∣≤∑p,q≤Np+q>N∣ap∣ ∣bq∣=αNβN−∑n=0Nγn⟶0,\Big|A_NB_N-\sum_{n=0}^Nc_n\Big|=\Big|\sum_{\substack{p,q\le N\\p+q>N}}a_pb_q\Big|\le\sum_{\substack{p,q\le N\\p+q>N}}|a_p|\,|b_q|=\alpha_N\beta_N-\sum_{n=0}^N\gamma_n\longrightarrow0,

d'où ∑n=0+∞cn=AB\sum_{n=0}^{+\infty}c_n=AB.

Convolution de Dirichlet. La commutativité vient de la bijection d↦ndd\mapsto\frac nd de l'ensemble des diviseurs de nn. Pour l'associativité, ((f∗g)∗h)(n)((f*g)*h)(n) et (f∗(g∗h))(n)(f*(g*h))(n) valent tous deux ∑abc=nf(a)g(b)h(c)\sum_{abc=n}f(a)g(b)h(c), somme sur les triplets d'entiers a,b,c≥1a,b,c\ge1 de produit nn. Pour les séries de Dirichlet, la famille (f(a)g(b)(ab)s)(a,b)∈(N∗)2\big(\frac{f(a)g(b)}{(ab)^s}\big)_{(a,b)\in(\N^*)^2} est sommable comme produit de deux familles sommables, et la sommation par paquets selon la valeur de n=abn=ab donne le résultat.

Méthode : quand et comment l'utiliser

On reconnaît un produit de convolution à une somme de la forme ∑k=0nakbn−k\sum_{k=0}^na_kb_{n-k} (indices de somme constante) ou ∑d∣nf(d)g(n/d)\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d) (indices de produit constant). On l'interprète alors comme le coefficient d'un produit de séries entières ou de séries de Dirichlet, après avoir vérifié la convergence absolue.

Exemples d'application

Exponentielle : eaeb=ea+be^ae^b=e^{a+b}

Pour a,b∈Ca,b\in\C, les séries ∑ann!\sum\frac{a^n}{n!} et ∑bnn!\sum\frac{b^n}{n!} convergent absolument. Leur produit de Cauchy a pour terme général

cn=∑k=0nakk!⋅bn−k(n−k)!=1n!∑k=0n(nk)akbn−k=(a+b)nn!c_n=\sum_{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\cdot\frac{b^{n-k}}{(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk a^kb^{n-k}=\frac{(a+b)^n}{n!}

par la formule du binôme. Donc eaeb=ea+be^ae^b=e^{a+b}. De même, avec an=bn=xna_n=b_n=x^n et ∣x∣<1|x|<1, on obtient 1(1−x)2=∑n=0+∞(n+1)xn\frac1{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)x^n.

Convolution de Dirichlet et fonction de von Mangoldt

Soit Λ(n)=ln⁡p\Lambda(n)=\ln p si n=pkn=p^k avec pp premier et k≥1k\ge1, Λ(n)=0\Lambda(n)=0 sinon, et 1\mathbf 1 la fonction constante égale à 11. Si n=∏i=1rpiαin=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}, les diviseurs dd de nn tels que Λ(d)≠0\Lambda(d)\neq0 sont les pikp_i^k avec 1≤k≤αi1\le k\le\alpha_i, donc

(Λ∗1)(n)=∑d∣nΛ(d)=∑i=1rαiln⁡pi=ln⁡n.(\Lambda*\mathbf 1)(n)=\sum_{d\mid n}\Lambda(d)=\sum_{i=1}^r\alpha_i\ln p_i=\ln n.

Pour s>1s>1, les séries de Dirichlet correspondantes convergent absolument (car 0≤Λ(n)≤ln⁡n0\le\Lambda(n)\le\ln n), et (∑n≥1Λ(n)ns)ζ(s)=∑n≥1ln⁡nns\Big(\sum_{n\ge1}\frac{\Lambda(n)}{n^s}\Big)\zeta(s)=\sum_{n\ge1}\frac{\ln n}{n^s}. De même, (1∗1)(n)=τ(n)(\mathbf 1*\mathbf 1)(n)=\tau(n) est le nombre de diviseurs de nn, et ζ(s)2=∑n≥1τ(n)ns\zeta(s)^2=\sum_{n\ge1}\frac{\tau(n)}{n^s}.

Erreurs classiques

  • Appliquer le produit de Cauchy à des séries seulement semi-convergentes. Pour an=bn=(−1)nn+1a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}, les deux séries convergent (critère spécial des séries alternées), mais ∣cn∣=∑k=0n1(k+1)(n−k+1)≥2(n+1)n+2|c_n|=\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\ge\frac{2(n+1)}{n+2}, donc ∑cn\sum c_n diverge grossièrement.

  • Confondre cn=∑k=0nakbn−kc_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k} avec le produit terme à terme anbna_nb_n : en général ∑anbn≠(∑an)(∑bn)\sum a_nb_n\neq\big(\sum a_n\big)\big(\sum b_n\big).

  • Se tromper d'indices pour des séries qui commencent à n=1n=1 : le produit de ∑n≥1an\sum_{n\ge1}a_n et ∑n≥1bn\sum_{n\ge1}b_n a pour terme ∑k=1n−1akbn−k\sum_{k=1}^{n-1}a_kb_{n-k}, à partir de n=2n=2.

  • Utiliser les propriétés de la convolution de Dirichlet ou de la convolution des fonctions sans les redémontrer : elles sont hors programme.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Séries numériques et familles sommables ; séries entières ».

Le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes (convolution des suites) est au programme de deuxième année et s'utilise directement. La convolution de Dirichlet et le produit de convolution des fonctions ne sont pas au programme : il faut redémontrer en devoir ou à l'oral les propriétés utilisées (commutativité, associativité, produit de deux séries de Dirichlet).

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Séries numériques et familles sommables (224 sujets), Séries entières et séries de Fourier (262 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un produit de convolution ?

C'est l'opération qui associe à deux suites (an)(a_n) et (bn)(b_n) la suite cn=∑k=0nakbn−kc_n=\sum_{k=0}^na_kb_{n-k} : c'est la règle de calcul des coefficients d'un produit de polynômes ou de séries entières. La même idée existe pour les fonctions, avec une intégrale à la place de la somme.

Quel est un exemple simple de produit de convolution ?

Pour des polynômes, (∑akXk)(∑bkXk)=∑cnXn\big(\sum a_kX^k\big)\big(\sum b_kX^k\big)=\sum c_nX^n avec c=a∗bc=a*b. Pour les séries, le produit de Cauchy de ∑ann!\sum\frac{a^n}{n!} et de ∑bnn!\sum\frac{b^n}{n!} donne eaeb=ea+be^ae^b=e^{a+b}.

Qu'est-ce que la convolution de deux fonctions ?

C'est (f∗g)(x)=∫Rf(t) g(x−t) dt(f*g)(x)=\int_{\R}f(t)\,g(x-t)\,\dd t, hors programme de prépa. Par exemple, pour f=g=1[0,1]f=g=\mathbf 1_{[0,1]}, on obtient (f∗g)(x)=x(f*g)(x)=x sur [0,1][0,1], 2−x2-x sur [1,2][1,2] et 00 ailleurs : une fonction triangle.

Exercices corrigés utilisant : Produit de convolution

1 exercice

Fonction de von Mangoldt et distribution des premiers

Calcul exact de la norme infinie
von MangoldtZêtanombres premiersSéries de DirichletProduit de convolution