Critère spécial des séries alternées

Quitte à remplacer $(u_n)$ par $(-u_n)$, on suppose $u_n=(-1)^na_n$ avec $a_n=|u_n|$, la suite $(a_n)$ étant décroissante de limite nulle. On note $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$.

Suites adjacentes. Pour tout $n$ :

et $S_{2n}-S_{2n+1}=a_{2n+1}\to0$. La suite $(S_{2n})$ est décroissante, la suite $(S_{2n+1})$ croissante, et leur différence tend vers $0$ : elles sont adjacentes et convergent vers une même limite $S$. Les suites extraites d'indices pairs et impairs convergeant vers $S$, la suite $(S_n)$ converge vers $S$ : la série converge.

Encadrement de la somme. Par monotonie des deux suites adjacentes, pour tout $p$ : $S_{2p+1}\le S\le S_{2p}$ et $S_{2p+1}\le S\le S_{2p+2}$. Ainsi, pour tout $n$, $S$ est comprise entre $S_n$ et $S_{n+1}$.

Reste. Par conséquent, $R_n=S-S_n$ est compris entre $0$ et $S_{n+1}-S_n=u_{n+1}$. On en déduit $|R_n|\le|u_{n+1}|$ et que $R_n$ est du signe de $u_{n+1}$ (au sens large).

• Vérifier les trois hypothèses séparément ; la décroissance de $|u_n|$ s'obtient souvent en étudiant une fonction $f$ telle que $|u_n|=f(n)$.
• Si la décroissance n'a lieu qu'à partir d'un rang $n_0$, le critère s'applique à la série à partir de ce rang, et la majoration du reste vaut pour $n\ge n_0$.
• Pour une série de fonctions $\sum f_n(x)$ vérifiant le critère pour chaque $x$, la majoration $|R_n(x)|\le|f_{n+1}(x)|$ ramène la convergence uniforme à la convergence uniforme de $(f_n)$ vers $0$.
• Si $|u_n|$ n'est pas monotone, faire un développement asymptotique : un terme relevant du critère, plus un terme de signe constant, plus un terme absolument convergent.

Le critère, avec la majoration et le signe du reste, figure au programme de deuxième année dans les compléments sur les séries numériques ; il est parfois présenté dès la première année. Il peut être cité, à condition de vérifier explicitement chacune des hypothèses.