Théorème de Weyl : critère d'équirépartition

Q: Quels sont les autres théorèmes de Weyl ?

Le nom de Hermann Weyl est attaché à plusieurs résultats : les inégalités de Weyl sur les valeurs propres d'une somme de matrices symétriques réelles (λ_i+j-1(A+B)≤λ_i(A)+λ_j(B), valeurs propres rangées par ordre décroissant), la loi de Weyl sur les valeurs propres du laplacien, ou le lemme de Weyl sur les fonctions harmoniques. Cette page traite du critère d'équirépartition, utilisé par les exercices ci-dessous.

Q: La suite n²α est-elle équirépartie modulo 1 ?

Oui : Weyl a montré que (P(n)) est équirépartie modulo 1 dès que le polynôme réel P a au moins un coefficient irrationnel autre que son coefficient constant ; c'est le cas de (n^2α) pour α∉Q. La preuve, par les sommes de Weyl et l'inégalité de van der Corput, est nettement plus difficile.

Q: Pourquoi la suite des parties fractionnaires de nα est-elle dense ?

C'est une conséquence de l'équirépartition : tout intervalle [a,b[⊂[0,1[ contient une proportion b-a>0 des termes, donc au moins un terme. On peut aussi le montrer directement par le principe des tiroirs.

Le critère de Weyl ramène l'équirépartition modulo $1$ d'une suite réelle à l'étude des moyennes d'exponentielles $\frac1N\sum_{n=1}^N e^{2i\pi pu_n}$ . Il montre que $(n\alpha)$ est équirépartie modulo $1$ pour $\alpha$ irrationnel et permet de calculer des limites de moyennes comme $\frac1N\sum_{n=1}^N|\cos n|$ .

Hors programmeDeuxième année (MP, MPI) · Suites et séries de fonctions (approximation uniforme)

Énoncé

Théorème (critère de Weyl)

On note $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor\in[0,1[$ la partie fractionnaire d'un réel $x$ . Une suite réelle $(u_n)_{n\ge1}$ est équirépartie modulo 1 si, pour tous $0\le a<b\le1$ ,

\frac1N\operatorname{card}\big\{n\in[\![1,N]\!] : \{u_n\}\in[a,b[\big\}\xrightarrow[N\to+\infty]{}b-a.

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$(u_n)$ est équirépartie modulo 1 ;
pour toute fonction $f:\R\to\C$ continue et $1$ -périodique, $\frac1N\sum_{n=1}^Nf(u_n)\to\int_0^1f(t)\,\dd t$ ;
pour tout entier $p\neq0$ , $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2i\pi pu_n}\to0$ .

Application. Si $\alpha$ est irrationnel, la suite $(n\alpha)_{n\ge1}$ est équirépartie modulo 1.

Esquisse de démonstration

Pour $f$ $1$ -périodique, on a $f(u_n)=f(\{u_n\})$ : seules comptent les valeurs de $f$ sur $[0,1[$ .

(1) implique (2). L'hypothèse dit exactement que (2) est vraie pour la fonction $1$ -périodique égale à l'indicatrice de $[a,b[$ sur $[0,1[$ . Par linéarité, (2) vaut pour les fonctions $1$ -périodiques en escalier sur $[0,1[$ . Si $f$ est continue et $1$ -périodique et $\varepsilon>0$ , il existe $\varphi$ en escalier avec $\sup_{[0,1[}|f-\varphi|\le\varepsilon$ : les moyennes $\frac1N\sum f(u_n)$ et $\frac1N\sum\varphi(u_n)$ diffèrent d'au plus $\varepsilon$ , de même que $\int_0^1f$ et $\int_0^1\varphi$ . D'où $\limsup_N\left|\frac1N\sum_{n=1}^N f(u_n)-\int_0^1f\right|\le2\varepsilon$ .

(2) implique (3). On prend $f(t)=e^{2i\pi pt}$ , d'intégrale nulle sur $[0,1]$ pour $p\neq0$ .

(3) implique (2). Par linéarité, (2) est vraie pour les polynômes trigonométriques $\sum_{|p|\le P}c_p\,e^{2i\pi pt}$ (le terme constant a pour moyenne et pour intégrale $c_0$ ). Toute fonction continue $1$ -périodique est limite uniforme de polynômes trigonométriques (Fejér) ; le même argument d'approximation à $2\varepsilon$ près conclut.

(2) implique (1). Soit $\chi$ la fonction $1$ -périodique égale à l'indicatrice de $[a,b[$ sur $[0,1[$ , et $\varepsilon>0$ . On construit des fonctions continues $1$ -périodiques, affines par morceaux (« en trapèze »), telles que $g_-\le\chi\le g_+$ et $\int_0^1(g_+-g_-)\le\varepsilon$ . Alors

\int_0^1g_-\le\liminf_N\frac1N\sum_{n=1}^N\chi(u_n)\le\limsup_N\frac1N\sum_{n=1}^N\chi(u_n)\le\int_0^1g_+,

et ces deux intégrales encadrent $b-a$ à $\varepsilon$ près.

Application (preuve complète à partir du critère). Soit $\alpha\notin\Q$ et $p\neq0$ . Alors $q=e^{2i\pi p\alpha}\neq1$ , car $p\alpha\notin\Z$ , et

\left|\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{2i\pi pn\alpha}\right|=\frac1N\left|q\,\frac{1-q^N}{1-q}\right|\le\frac{2}{N\,|1-q|}\xrightarrow[N\to+\infty]{}0.

Par (3) implique (1), la suite $(n\alpha)$ est équirépartie modulo 1.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Pour calculer la limite de $\frac1N\sum_{n=1}^Nf(u_n)$ : écrire $f(u_n)=g(n\alpha)$ avec $g$ continue et $1$ -périodique et $\alpha$ irrationnel, puis conclure par (2) que la limite vaut $\int_0^1g$ . Pour prouver une équirépartition, vérifier (3) : les sommes $\sum e^{2i\pi pu_n}$ sont souvent géométriques ou se majorent par une transformation d'Abel.

Exemples d'application

Moyenne de $|\cos n|$

Le nombre $\alpha=\frac1{2\pi}$ est irrationnel, car $\pi$ l'est : la suite $\left(\frac{n}{2\pi}\right)$ est équirépartie modulo 1. La fonction $g(t)=|\cos(2\pi t)|$ est continue et $1$ -périodique, et $g\left(\frac n{2\pi}\right)=|\cos n|$ . Par le critère (2),

\frac1N\sum_{n=1}^N|\cos n|\xrightarrow[N\to+\infty]{}\int_0^1|\cos(2\pi t)|\,\dd t=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|\cos u|\,\dd u=\frac2\pi.

Premier chiffre des puissances de $2$

Le nombre $\alpha=\log_{10}2$ est irrationnel : $\log_{10}2=\frac pq$ avec $p,q\in\N^*$ donnerait $2^q=10^p$ , impossible car $5$ divise $10^p$ mais pas $2^q$ . On a $2^n=10^{\lfloor n\alpha\rfloor}\cdot10^{\{n\alpha\}}$ , donc le premier chiffre de $2^n$ est $k\in[\![1,9]\!]$ si et seulement si $k\le10^{\{n\alpha\}}<k+1$ , c'est-à-dire $\{n\alpha\}\in\big[\log_{10}k,\log_{10}(k+1)\big[$ . Par équirépartition, la proportion des $n\le N$ tels que $2^n$ commence par le chiffre $k$ tend vers $\log_{10}\left(1+\frac1k\right)$ : environ 30,1 % des puissances de $2$ commencent par $1$ .

Erreurs classiques

Vérifier la condition (3) pour $p=1$ seulement : $u_n=\frac n2$ vérifie $\frac1N\sum_{n=1}^Ne^{i\pi n}\to0$ , mais $e^{2i\pi\cdot2u_n}=1$ pour tout $n$ , et la suite, qui ne prend que les valeurs $0$ et $\frac12$ modulo 1, n'est pas équirépartie. Il faut tous les entiers $p\neq0$ .
Confondre densité et équirépartition : la suite $(\{\ln n\})$ est dense dans $[0,1]$ , car $\ln(n+1)-\ln n\to0$ et $\ln n\to+\infty$ , mais elle n'est pas équirépartie modulo 1.
Appliquer (2) à une fonction non bornée : le critère s'étend aux fonctions continues par morceaux sur $[0,1]$ , mais peut tomber en défaut pour une fonction intégrable non bornée, dont l'intégrale est généralisée.
Oublier l'irrationalité : si $\alpha=\frac rs$ , les $\{n\alpha\}$ ne prennent qu'un nombre fini de valeurs (des multiples de $\frac1s$ ), et la suite n'est pas équirépartie.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI), chapitre « Suites et séries de fonctions (approximation uniforme) ».

Le critère de Weyl n'est pas au programme : il apparaît dans des problèmes et des exercices d'oral, en général guidés. Il faut le redémontrer avant de l'utiliser. Sa preuve utilise l'approximation uniforme des fonctions continues périodiques par des polynômes trigonométriques (théorème de Fejér ou de Weierstrass trigonométrique), qu'il faut alors admettre ou établir selon ce que permet l'énoncé.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets).

Questions fréquentes

Quels sont les autres théorèmes de Weyl ?

Le nom de Hermann Weyl est attaché à plusieurs résultats : les inégalités de Weyl sur les valeurs propres d'une somme de matrices symétriques réelles ( $\lambda_{i+j-1}(A+B)\le\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ , valeurs propres rangées par ordre décroissant), la loi de Weyl sur les valeurs propres du laplacien, ou le lemme de Weyl sur les fonctions harmoniques. Cette page traite du critère d'équirépartition, utilisé par les exercices ci-dessous.

La suite n²α est-elle équirépartie modulo 1 ?

Oui : Weyl a montré que $(P(n))$ est équirépartie modulo 1 dès que le polynôme réel $P$ a au moins un coefficient irrationnel autre que son coefficient constant ; c'est le cas de $(n^2\alpha)$ pour $\alpha\notin\Q$ . La preuve, par les sommes de Weyl et l'inégalité de van der Corput, est nettement plus difficile.

Pourquoi la suite des parties fractionnaires de nα est-elle dense ?

C'est une conséquence de l'équirépartition : tout intervalle $[a,b[\subset[0,1[$ contient une proportion $b-a>0$ des termes, donc au moins un terme. On peut aussi le montrer directement par le principe des tiroirs.

Théorème de Weyl (critère d'équirépartition)

Énoncé

Esquisse de démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Moyenne de $|\cos n|$

Premier chiffre des puissances de $2$

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Quels sont les autres théorèmes de Weyl ?

La suite n²α est-elle équirépartie modulo 1 ?

Pourquoi la suite des parties fractionnaires de nα est-elle dense ?

Exercices corrigés utilisant : Théorème de Weyl (critère d'équirépartition)

Convergence d'une moyenne de puissances de cosinus

Équirépartition et intégrale divergente

Théorème de Weyl (critère d'équirépartition)

Énoncé

Esquisse de démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Moyenne de ∣cos⁡n∣|\cos n|∣cosn∣

Premier chiffre des puissances de 222

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Quels sont les autres théorèmes de Weyl ?

La suite n²α est-elle équirépartie modulo 1 ?

Pourquoi la suite des parties fractionnaires de nα est-elle dense ?

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Moyenne de $|\cos n|$

Premier chiffre des puissances de $2$