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Lemme de Riemann-Lebesgue

Le lemme de Riemann-Lebesgue affirme que l'intégrale d'une fonction intégrable contre une exponentielle eiλte^{i\lambda t} qui oscille de plus en plus vite tend vers 00. Il s'applique aux coefficients de Fourier, aux intégrales oscillantes et aux limites du type ∫f(t)sin⁡2(λt) dt\int f(t)\sin^2(\lambda t)\,\dd t.

Hors programmeDeuxième année (MP, MPI, PSI) · Intégration sur un intervalle quelconque

Énoncé

Théorème (lemme de Riemann-Lebesgue)

Soit II un intervalle de R\R et f:I→Cf:I\to\C une fonction continue par morceaux et intégrable sur II. Alors, pour λ\lambda réel,

lim⁡λ→±∞∫If(t) eiλt dt=0.\lim_{\lambda\to\pm\infty}\int_If(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t=0.

En particulier ∫If(t)cos⁡(λt) dt→0\int_If(t)\cos(\lambda t)\,\dd t\to0 et ∫If(t)sin⁡(λt) dt→0\int_If(t)\sin(\lambda t)\,\dd t\to0 quand λ→+∞\lambda\to+\infty. Si de plus I=[a,b]I=[a,b] est un segment et ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur [a,b][a,b], on a ∫abf(t) eiλt dt=O(1∣λ∣)\int_a^bf(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t=O\left(\frac1{|\lambda|}\right).

Démonstration

L'intégrale est bien définie car ∣f(t) eiλt∣=∣f(t)∣|f(t)\,e^{i\lambda t}|=|f(t)|.

Étape 1 : ff de classe C1\mathcal{C}^1 sur un segment [a,b][a,b]. Pour λ≠0\lambda\neq0, une intégration par parties donne

∫abf(t) eiλt dt=[f(t) eiλtiλ]ab−1iλ∫abf′(t) eiλt dt,\int_a^bf(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t=\left[\frac{f(t)\,e^{i\lambda t}}{i\lambda}\right]_a^b-\frac{1}{i\lambda}\int_a^bf'(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t,

dont le module est au plus 1∣λ∣(∣f(a)∣+∣f(b)∣+∫ab∣f′∣)\frac{1}{|\lambda|}\left(|f(a)|+|f(b)|+\int_a^b|f'|\right). Cela prouve le résultat, avec la vitesse O(1∣λ∣)O\left(\frac1{|\lambda|}\right).

Étape 2 : ff en escalier sur [a,b][a,b]. Par linéarité, il suffit de traiter l'indicatrice d'un intervalle d'extrémités c<dc<d, car les valeurs en un nombre fini de points ne changent pas l'intégrale : ∣∫cdeiλt dt∣=∣eiλd−eiλc∣∣λ∣≤2∣λ∣\left|\int_c^de^{i\lambda t}\,\dd t\right|=\frac{|e^{i\lambda d}-e^{i\lambda c}|}{|\lambda|}\le\frac2{|\lambda|}.

Étape 3 : ff continue par morceaux sur [a,b][a,b]. Soit ε>0\varepsilon>0 et φ\varphi en escalier sur [a,b][a,b] telle que sup⁡[a,b]∣f−φ∣≤ε\sup_{[a,b]}|f-\varphi|\le\varepsilon (approximation uniforme des fonctions continues par morceaux par des fonctions en escalier). Alors

∣∫abf(t) eiλt dt∣≤∫ab∣f−φ∣+∣∫abφ(t) eiλt dt∣≤(b−a)ε+∣∫abφ(t) eiλt dt∣,\left|\int_a^bf(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t\right|\le\int_a^b|f-\varphi|+\left|\int_a^b\varphi(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t\right|\le(b-a)\varepsilon+\left|\int_a^b\varphi(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t\right|,

et le dernier terme est inférieur à ε\varepsilon pour ∣λ∣|\lambda| assez grand, d'après l'étape 2.

Étape 4 : II quelconque. Comme ff est intégrable sur II, ∫ab∣f∣→∫I∣f∣\int_a^b|f|\to\int_I|f| quand aa et bb tendent vers les bornes de II : il existe un segment [a,b]⊂I[a,b]\subset I tel que ∫I∖[a,b]∣f∣≤ε\int_{I\setminus[a,b]}|f|\le\varepsilon. Alors ∣∫If(t) eiλt dt∣≤ε+∣∫abf(t) eiλt dt∣\left|\int_If(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t\right|\le\varepsilon+\left|\int_a^bf(t)\,e^{i\lambda t}\,\dd t\right|, et l'étape 3 conclut.

Méthode : quand et comment l'utiliser

Le lemme s'utilise dès qu'apparaît ∫f(t)cos⁡(λt) dt\int f(t)\cos(\lambda t)\,\dd t ou ∫f(t)sin⁡(λt) dt\int f(t)\sin(\lambda t)\,\dd t avec λ→+∞\lambda\to+\infty : coefficients de Fourier, noyau de Dirichlet, intégrales de la forme ∫f(t)sin⁡2(λt) dt\int f(t)\sin^2(\lambda t)\,\dd t après linéarisation. Dans une copie, si ff est de classe C1\mathcal{C}^1 sur un segment, l'intégration par parties de l'étape 1 suffit et se rédige en deux lignes ; sinon, il faut reprendre l'argument d'approximation.

Exemples d'application

Coefficients de Fourier

Si f:R→Cf:\R\to\C est 2π2\pi-périodique et continue par morceaux, ses coefficients de Fourier cn(f)=12π∫02πf(t) e−int dtc_n(f)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)\,e^{-int}\,\dd t tendent vers 00 quand n→±∞n\to\pm\infty : c'est le lemme appliqué sur le segment [0,2π][0,2\pi] avec λ=−n\lambda=-n. De même, ∫02πf(t)cos⁡(nt) dt→0\int_0^{2\pi}f(t)\cos(nt)\,\dd t\to0 et ∫02πf(t)sin⁡(nt) dt→0\int_0^{2\pi}f(t)\sin(nt)\,\dd t\to0.

Limite de ∫abf(t)sin⁡2(λt) dt\int_a^bf(t)\sin^2(\lambda t)\,\dd t

Soit ff continue par morceaux sur [a,b][a,b]. Comme sin⁡2(λt)=1−cos⁡(2λt)2\sin^2(\lambda t)=\frac{1-\cos(2\lambda t)}{2},

∫abf(t)sin⁡2(λt) dt=12∫abf(t) dt−12∫abf(t)cos⁡(2λt) dt→λ→+∞12∫abf(t) dt.\int_a^bf(t)\sin^2(\lambda t)\,\dd t=\frac12\int_a^bf(t)\,\dd t-\frac12\int_a^bf(t)\cos(2\lambda t)\,\dd t\xrightarrow[\lambda\to+\infty]{}\frac12\int_a^bf(t)\,\dd t.

À la limite, sin⁡2(λt)\sin^2(\lambda t) est remplacé par sa valeur moyenne 12\frac12.

Erreurs classiques

  • Appliquer le lemme à une fonction non intégrable : pour λ>0\lambda>0, le changement de variable u=λtu=\lambda t donne ∫0+∞sin⁡(λt)t dt=∫0+∞sin⁡uu du=π2\int_0^{+\infty}\frac{\sin(\lambda t)}{t}\,\dd t=\int_0^{+\infty}\frac{\sin u}{u}\,\dd u=\frac\pi2, qui ne tend pas vers 00. Ici t↦1tt\mapsto\frac1t n'est pas intégrable sur ]0,+∞[]0,+\infty[ et l'intégrale n'est que semi-convergente.

  • Croire que l'intégrale tend vers 00 contre toute fonction qui oscille : ∫abf(t) ∣sin⁡(λt)∣ dt\int_a^bf(t)\,|\sin(\lambda t)|\,\dd t tend vers 2π∫abf\frac2\pi\int_a^bf, et non vers 00. Le lemme concerne eiλte^{i\lambda t}, cos⁡(λt)\cos(\lambda t) et sin⁡(λt)\sin(\lambda t), de valeur moyenne nulle.

  • Affirmer une vitesse en 1λ\frac1\lambda dans le cas général : elle n'est garantie que sous une hypothèse de régularité, par exemple ff de classe C1\mathcal{C}^1 sur un segment. Pour une fonction seulement continue, la convergence vers 00 peut être arbitrairement lente.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Intégration sur un intervalle quelconque ».

Le lemme ne figure pas au programme officiel en tant qu'énoncé. Il est très classique en exercice, souvent dans le cas d'une fonction de classe C1\mathcal{C}^1 sur un segment, par intégration par parties : il faut le redémontrer avant de l'utiliser.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Intégrales généralisées (415 sujets), Séries entières et séries de Fourier (262 sujets).

Sujets où cette notion intervient explicitement :

Questions fréquentes

Qu'appelle-t-on lemme de Lebesgue ?

L'expression désigne souvent le lemme de Riemann-Lebesgue. En topologie, le lemme de Lebesgue (ou du nombre de Lebesgue) est un autre résultat : pour tout recouvrement d'une partie compacte KK d'un espace métrique par des ouverts, il existe r>0r>0 tel que toute boule de rayon rr centrée en un point de KK soit incluse dans l'un des ouverts.

Faut-il que la fonction soit continue ?

Non : ff continue par morceaux et intégrable sur II suffit, et dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue toute fonction intégrable convient. L'hypothèse essentielle est l'intégrabilité.

Que dit le lemme pour les séries de Fourier ?

Les coefficients de Fourier d'une fonction 2π2\pi-périodique continue par morceaux tendent vers 00. Si ff est de plus de classe Ck\mathcal{C}^k, cn(f(k))=(in)kcn(f)c_n(f^{(k)})=(in)^kc_n(f) donne cn(f)=o(1∣n∣k)c_n(f)=o\left(\frac1{|n|^k}\right).

Exercices corrigés utilisant : Lemme de Riemann-Lebesgue

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