Théorème de Dini : énoncés et démonstrations

Q: Quelle différence entre les deux théorèmes de Dini ?

Le premier suppose les f_n continues et la suite (f_n(x))_n monotone pour chaque x ; le second suppose chaque f_n monotone sur le segment, sans continuité. Tous deux exigent une limite continue sur un segment.

Q: Le théorème de Dini s'applique-t-il aux séries de fonctions ?

Oui : si les u_n sont continues et positives sur un segment et si Σ u_n converge simplement vers une fonction continue, les sommes partielles forment une suite croissante de fonctions continues, et la convergence est uniforme.

Énoncé

Théorèmes (Dini)

Soit $[a,b]$ un segment de $\R$ et $(f_n)$ une suite de fonctions de $[a,b]$ dans $\R$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue sur $[a,b]$ .

Premier théorème de Dini. Si chaque $f_n$ est continue et si la suite $(f_n)$ est monotone (pour tout $x$ , la suite $(f_n(x))_n$ est croissante ; ou bien, pour tout $x$ , elle est décroissante), alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ .

Second théorème de Dini. Si chaque $f_n$ est croissante sur $[a,b]$ (ou si chaque $f_n$ est décroissante sur $[a,b]$ ), alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$ . Les $f_n$ ne sont pas supposées continues.

Le premier théorème reste vrai sur une partie compacte d'un espace vectoriel normé. Il s'applique aux séries $\sum u_n$ de fonctions continues positives dont la somme est continue.

Démonstration

Premier théorème. Quitte à remplacer $f_n$ par $-f_n$ et $f$ par $-f$ , on suppose $(f_n(x))_n$ croissante pour tout $x$ . Posons $g_n=f-f_n$ : $g_n$ est continue, $g_n\ge g_{n+1}\ge0$ et $g_n\to0$ simplement. Par le théorème des bornes atteintes, il existe $x_n\in[a,b]$ tel que $\|g_n\|_\infty=g_n(x_n)$ . La suite $(\|g_n\|_\infty)$ est décroissante et positive, donc converge vers un réel $\ell\ge0$ . Supposons $\ell>0$ . Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, une suite extraite $(x_{\varphi(n)})$ converge vers un point $c\in[a,b]$ . Pour $p$ fixé et $n$ tel que $\varphi(n)\ge p$ ,

g_p(x_{\varphi(n)})\ge g_{\varphi(n)}(x_{\varphi(n)})=\|g_{\varphi(n)}\|_\infty\ge\ell.

En faisant $n\to+\infty$ , la continuité de $g_p$ donne $g_p(c)\ge\ell$ , et ce pour tout $p$ : cela contredit $g_p(c)\to0$ . Donc $\ell=0$ , et la convergence est uniforme.

Variante par Borel-Lebesgue : pour $\varepsilon>0$ , les ouverts relatifs $\{x\in[a,b] : g_n(x)<\varepsilon\}$ forment une suite croissante qui recouvre $[a,b]$ ; un nombre fini d'entre eux suffit, donc l'un d'eux est $[a,b]$ tout entier.

Second théorème. Supposons les $f_n$ croissantes ; $f$ est alors croissante comme limite simple de fonctions croissantes. Soit $\varepsilon>0$ . La fonction $f$ est uniformément continue sur le segment $[a,b]$ (théorème de Heine) : il existe une subdivision $a=x_0<x_1<\dots<x_p=b$ telle que $f(x_{i+1})-f(x_i)\le\varepsilon$ pour tout $i$ . Comme il n'y a qu'un nombre fini de points, il existe $N$ tel que $|f_n(x_i)-f(x_i)|\le\varepsilon$ pour tout $n\ge N$ et tout $i$ . Soit $n\ge N$ et $x\in[x_i,x_{i+1}]$ . Par croissance de $f_n$ et de $f$ ,

\begin{aligned}f_n(x)&\le f_n(x_{i+1})\le f(x_{i+1})+\varepsilon\le f(x_i)+2\varepsilon\le f(x)+2\varepsilon,\\ f_n(x)&\ge f_n(x_i)\ge f(x_i)-\varepsilon\ge f(x_{i+1})-2\varepsilon\ge f(x)-2\varepsilon.\end{aligned}

Donc $\sup_{[a,b]}|f_n-f|\le2\varepsilon$ pour tout $n\ge N$ .

Méthode : quand et comment l'utiliser

Pour montrer une convergence uniforme sur un segment sans calculer $\sup|f_n-f|$ : vérifier que la limite simple est continue, puis la monotonie adaptée à l'un des deux théorèmes. Dans une copie, on redémontre le théorème, ou on reproduit l'argument directement sur l'exemple.

Exemples d'application

Approximation uniforme de $\sqrt{x}$ par des polynômes

On définit sur $[0,1]$ la suite de polynômes $P_0=0$ et $P_{n+1}(x)=P_n(x)+\frac12\big(x-P_n(x)^2\big)$ . Montrons par récurrence que $0\le P_n(x)\le\sqrt x$ . C'est vrai pour $n=0$ ; si c'est vrai au rang $n$ ,

\sqrt x-P_{n+1}(x)=\big(\sqrt x-P_n(x)\big)\left(1-\frac{\sqrt x+P_n(x)}{2}\right),

et le second facteur est dans $[0,1]$ car $0\le\sqrt x+P_n(x)\le2\sqrt x\le2$ . Donc $P_{n+1}(x)\le\sqrt x$ . De plus $P_{n+1}(x)-P_n(x)=\frac12\big(x-P_n(x)^2\big)\ge0$ , ce qui donne aussi $P_{n+1}(x)\ge0$ .

Pour tout $x$ , la suite $(P_n(x))$ est croissante et majorée par $\sqrt x$ : elle converge vers un réel $\ell\ge0$ qui vérifie $\ell=\ell+\frac12(x-\ell^2)$ , donc $\ell=\sqrt x$ . Les $P_n$ sont continues, la suite est croissante et la limite est continue sur le segment $[0,1]$ : par le premier théorème de Dini, $P_n\to\sqrt{\cdot}$ uniformément sur $[0,1]$ . En composant avec $x\mapsto x^2$ , les polynômes $P_n(x^2)$ convergent uniformément vers $|x|$ sur $[-1,1]$ .

Convergence uniforme de $\left(1+\frac xn\right)^n$ vers $e^x$

Soit $A>0$ et, pour $n>A$ , $f_n(x)=\left(1+\frac xn\right)^n$ sur $[-A,A]$ . Comme $1+\frac xn>0$ sur $[-A,A]$ , chaque $f_n$ est croissante sur $[-A,A]$ . Pour $x$ fixé, $n\ln\left(1+\frac xn\right)\to x$ , donc $f_n(x)\to e^x$ , et la limite est continue. Par le second théorème de Dini, la convergence est uniforme sur $[-A,A]$ , sans étude de la monotonie en $n$ ni calcul de $\sup|f_n-\exp|$ .

Erreurs classiques

Oublier la continuité de la limite : $f_n(x)=x^n$ définit sur $[0,1]$ une suite décroissante de fonctions continues, mais la limite (nulle sur $[0,1[$ , égale à $1$ en $1$ ) est discontinue et la convergence n'est pas uniforme.
Appliquer le théorème hors d'un segment : sur $[0,1[$ , $x^n$ décroît vers la fonction nulle, qui est continue, mais $\sup_{[0,1[}x^n=1$ ; de même, $\frac xn$ décroît vers $0$ sur $[0,+\infty[$ sans convergence uniforme.
Oublier la monotonie : $f_n(x)=nx\,e^{-nx}$ tend simplement vers $0$ sur $[0,1]$ , les fonctions et la limite sont continues, mais $f_n\left(\frac1n\right)=e^{-1}$ : la convergence n'est pas uniforme.
Confondre les hypothèses des deux théorèmes : dans le premier, la monotonie porte sur $n$ (à $x$ fixé) et les $f_n$ doivent être continues ; dans le second, elle porte sur $x$ (à $n$ fixé) et les $f_n$ peuvent être discontinues. Dans les deux cas, la limite doit être continue.

Place dans le programme

Deuxième année (MP, MPI, PSI), chapitre « Suites et séries de fonctions ».

Les théorèmes de Dini ne figurent pas au programme officiel. Ils interviennent souvent en exercice ou en problème : il faut les redémontrer (la preuve tient en quelques lignes) avant de les utiliser, dans une copie comme à l'oral.

Dans les sujets de concours

Pour vous entraîner sur des sujets complets : Suites et séries de fonctions (403 sujets).

Questions fréquentes

Le théorème de Dini est-il au programme ?

Non. On peut l'utiliser à condition de le redémontrer ; les sujets qui en ont besoin le font souvent établir dans une question préliminaire.

Quelle différence entre les deux théorèmes de Dini ?

Le premier suppose les $f_n$ continues et la suite $(f_n(x))_n$ monotone pour chaque $x$ ; le second suppose chaque $f_n$ monotone sur le segment, sans continuité. Tous deux exigent une limite continue sur un segment.

Le théorème de Dini s'applique-t-il aux séries de fonctions ?

Oui : si les $u_n$ sont continues et positives sur un segment et si $\sum u_n$ converge simplement vers une fonction continue, les sommes partielles forment une suite croissante de fonctions continues, et la convergence est uniforme.

Le « teorema del Dini » est-il le même résultat ?

Pas toujours : en italien, cette expression désigne souvent le théorème des fonctions implicites, également dû à Dini. Cette page traite des théorèmes de convergence uniforme.

Théorèmes de Dini

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Approximation uniforme de $\sqrt{x}$ par des polynômes

Convergence uniforme de $\left(1+\frac xn\right)^n$ vers $e^x$

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Le théorème de Dini est-il au programme ?

Quelle différence entre les deux théorèmes de Dini ?

Le théorème de Dini s'applique-t-il aux séries de fonctions ?

Le « teorema del Dini » est-il le même résultat ?

Exercices corrigés utilisant : Théorèmes de Dini

Approximation de l'exponentielle négative

Algorithme de Dini pour la racine carrée

Approximation de la fonction gaussienne

Approximation polynomiale uniforme de la racine carrée

Convergence uniforme des itérées d'une fonction

Convergence uniforme d'itérées de fonctions

Itération de fonctions croissantes et points fixes

Vitesse de convergence des itérées sous-identiques

Approximation par des polynômes à coefficients positifs

Approximation de la racine carrée et Weierstrass

Régularisation par sup-convolution

Opérateur d'inf-convolution et dynamique fonctionnelle

Convergence d'opérateurs d'interpolation sécante

Opérateur de moyenne maximale et enveloppe concave

Théorèmes de Dini

Énoncé

Démonstration

Méthode : quand et comment l'utiliser

Exemples d'application

Approximation uniforme de x\sqrt{x}x​ par des polynômes

Convergence uniforme de (1+xn)n\left(1+\frac xn\right)^n(1+nx​)n vers exe^xex

Erreurs classiques

Place dans le programme

Dans les sujets de concours

Questions fréquentes

Le théorème de Dini est-il au programme ?

Quelle différence entre les deux théorèmes de Dini ?

Le théorème de Dini s'applique-t-il aux séries de fonctions ?

Le « teorema del Dini » est-il le même résultat ?

Exercices corrigés utilisant : Théorèmes de Dini

Approximation de l'exponentielle négative

Algorithme de Dini pour la racine carrée

Approximation de la fonction gaussienne

Approximation polynomiale uniforme de la racine carrée

Convergence uniforme des itérées d'une fonction

Convergence uniforme d'itérées de fonctions

Itération de fonctions croissantes et points fixes

Vitesse de convergence des itérées sous-identiques

Approximation par des polynômes à coefficients positifs

Approximation de la racine carrée et Weierstrass

Régularisation par sup-convolution

Opérateur d'inf-convolution et dynamique fonctionnelle

Convergence d'opérateurs d'interpolation sécante

Opérateur de moyenne maximale et enveloppe concave

Approximation uniforme de $\sqrt{x}$ par des polynômes

Convergence uniforme de $\left(1+\frac xn\right)^n$ vers $e^x$