Convergence des moyennes de Hardy itérées

Résolution.

1. Continuité de $T(f)$ :

   Sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$, la fonction $x \mapsto \int_{0}^{x} f(t)   dt$ est de classe $\mathcal{C}^1$ d'après le théorème fondamental de l'analyse, et $x \mapsto \frac{1}{x}$ est $\mathcal{C}^\infty$. Par produit, $T(f)$ est donc continue sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$.

   Étudions la continuité en $0$. Comme $f$ est continue en $0$, pour tout $\epsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que pour tout $t \in [0, \delta]$, $|f(t) - f(0)| \leq \epsilon$. Pour $x \in ]0, \delta]$, on a par l'inégalité de la moyenne :

   $$\left| T(f)(x) - f(0) \right| = \left| \frac{1}{x} \int_{0}^{x} (f(t) - f(0))   dt \right| \leq \frac{1}{x} \int_{0}^{x} |f(t) - f(0)|   dt \leq \epsilon$$

   On en déduit que $\lim_{x \to 0^+} T(f)(x) = f(0) = T(f)(0)$, ce qui prouve la continuité de $T(f)$ en $0$.

   $$\boxed{ T(f) \in \mathcal{C}^{0}(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}) }$$

2. Étude de la convergence de la suite $(f_n)$ :

   Soit $A > 0$. On travaille sur l'espace $E = \mathcal{C}^{0}([0, A], \mathbb{R})$ muni de la norme de la convergence uniforme $\| \cdot \|_{\infty}$. Remarquons d'abord que $T$ est un opérateur linéaire sur $E$. De plus, pour tout $x \in ]0, A]$ :

   $$|T(f)(x)| \leq \frac{1}{x} \int_{0}^{x} |f(t)|   dt \leq \frac{1}{x} \cdot x \|f\|_{\infty} = \|f\|_{\infty}$$
   Ceci reste vrai en $x=0$, donc $\|T(f)\|_{\infty} \leq \|f\|_{\infty}$. L'opérateur $T$ est 1-lipschitzien.

   Cas où $f$ est un polynôme : Soit $P(x) = \sum_{k=0}^d a_k x^k$. Par linéarité, $T(P)(x) = \sum_{k=0}^d a_k T(t \mapsto t^k)(x)$. Or, pour $k \geq 0$ et $x > 0$ :

   $$T(t \mapsto t^k)(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} t^k   dt = \frac{x^k}{k+1}$$
   Par récurrence, on montre que $f_n(x) = T^n(P)(x) = \sum_{k=0}^d \frac{a_k}{(k+1)^n} x^k$. Alors :
   $$|f_n(x) - f(0)| = \left| \sum_{k=1}^d \frac{a_k}{(k+1)^n} x^k \right| \leq \sum_{k=1}^d \frac{|a_k| A^k}{(k+1)^n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$
   La convergence est bien uniforme sur $[0, A]$ vers la fonction constante égale à $f(0)$.

   Cas général : Soit $f \in E$ et $\epsilon > 0$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe un polynôme $P$ tel que $\|f - P\|_{\infty} \leq \epsilon$. On a alors :

   $$\|f_n - f(0)\|_{\infty} \leq \|T^n(f) - T^n(P)\|_{\infty} + \|T^n(P) - P(0)\|_{\infty} + |P(0) - f(0)|$$
   Par les propriétés vues précédemment :
   • $\|T^n(f) - T^n(P)\|_{\infty} = \|T^n(f - P)\|_{\infty} \leq \|f - P\|_{\infty} \leq \epsilon$.
   • $|P(0) - f(0)| \leq \|P - f\|_{\infty} \leq \epsilon$.
   • Comme $P$ est un polynôme, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $\|T^n(P) - P(0)\|_{\infty} \leq \epsilon$.
   Ainsi, pour $n \geq N$, $\|f_n - f(0)\|_{\infty} \leq 3\epsilon$.
   $$\boxed{ (f_n) \text{ converge uniformément vers la fonction constante } x \mapsto f(0) \text{ sur tout segment } [0, A] }$$