Continuité d'une série de fonctions alternée

Résolution.

1. Domaine de définition. Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. On pose, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
   $$u_n(x) = \frac{(-1)^{n-1} n}{n^{2}+x^{2}}$$
   La suite de terme général $a_n(x) = \frac{n}{n^2+x^2}$ est positive et tend vers $0$ quand $n \to +\infty$. Pour étudier la monotonie de $(a_n(x))_{n \ge 1}$, on considère la fonction $g : t \mapsto \frac{t}{t^2+x^2}$ définie sur $[1, +\infty[$. Sa dérivée est donnée par :
   $$g'(t) = \frac{x^2-t^2}{(t^2+x^2)^2}$$
   On observe que $g'(t) \le 0$ dès que $t \ge |x|$. Ainsi, pour $n \ge \lfloor |x| \rfloor + 1$, la suite $(a_n(x))$ est décroissante. Par le critère spécial des séries alternées, la série $\sum u_n(x)$ converge.
   $$\boxed{\mathcal{D}_f = \mathbb{R}}$$

2. Continuité de $f$. Chaque fonction $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$. Pour montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, il suffit de montrer la convergence uniforme de la série sur tout segment de la forme $I_a = [-a, a]$ où $a > 0$. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [-a, a]$ et pour tout $n > a$, la suite $(a_n(x))$ est décroissante vers $0$. D'après le critère spécial des séries alternées, le reste d'ordre $n$ vérifie :
   $$\forall x \in [-a, a],   \forall n \ge a,   |R_n(x)| = \left| \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x) \right| \le a_{n+1}(x)$$
   On majore $a_{n+1}(x)$ indépendamment de $x$ :
   $$a_{n+1}(x) = \frac{n+1}{(n+1)^2+x^2} \le \frac{n+1}{(n+1)^2} = \frac{1}{n+1}$$
   On en déduit la majoration suivante pour la norme infinie du reste sur $I_a$ :
   $$\|R_n\|_{\infty, I_a} = \sup_{x \in [-a, a]} |R_n(x)| \le \frac{1}{n+1}$$
   Comme $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$, la série converge uniformément sur $[-a, a]$. Les fonctions $u_n$ étant continues sur $\mathbb{R}$, la somme $f$ est continue sur tout segment $[-a, a]$.
   $$\boxed{f \text{ est continue sur } \mathbb{R}}$$