Convergence d'une suite de fonctions puissances

Soit $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(0) = 1$ . Pour tout entier naturel $n \in \mathbb{N}^*$ , on définit la fonction $g_n$ sur $\mathbb{R}$ par :

g_n(x) = \left( f\left( \frac{x}{\sqrt{n}} \right) \right)^n

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur la dérivée de $f$ en $0$ pour que la suite de fonctions $(g_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ .
On suppose cette condition réalisée. Démontrer que la convergence est uniforme sur tout segment de $\mathbb{R}$ .

1.

Utiliser un développement limité de $f$ au voisinage de $0$ à l'ordre $2$ .

2.

Passer à la forme exponentielle $g_n(x) = \exp(n \ln(f(x/\sqrt{n})))$ en justifiant que l'argument du logarithme est strictement positif pour $n$ assez grand.

3.

Pour la convergence uniforme sur un segment $[-A, A]$ , utiliser le caractère $\mathcal{C}^2$ pour contrôler le reste du développement de Taylor.

Idées clés

•

Développement limité (DL) à l'ordre 2 pour capturer le comportement en $1/\sqrt{n}$ .

•

Étude de la convergence du logarithme de la suite.

•

Uniformité du reste d'un développement de Taylor-Lagrange sur un compact.

1. Condition de convergence simple.

Soit $x \in \mathbb{R}$ fixé. Si $x=0$ , $g_n(0) = f(0)^n = 1^n = 1$ , donc la suite converge toujours en $0$ . Supposons $x \neq 0$ . Puisque $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et $f(0)=1$ , on a le DL au voisinage de $0$ :

f(t) = 1 + f'(0)t + \frac{f''(0)}{2}t^2 + o(t^2)

En posant $t = \frac{x}{\sqrt{n}}$ , qui tend vers $0$ quand $n \to +\infty$ , on obtient :

f\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) = 1 + \frac{f'(0)x}{\sqrt{n}} + \frac{f''(0)x^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right)

Pour $n$ suffisamment grand, $f(x/\sqrt{n}) > 0$ , et on peut écrire :

\ln(g_n(x)) = n \ln\left( 1 + \frac{f'(0)x}{\sqrt{n}} + \frac{f''(0)x^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)

Premier cas : $f'(0) \neq 0$ .

\ln(g_n(x)) = n \left( \frac{f'(0)x}{\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{n}\right) \right) = f'(0)x\sqrt{n} + O(1)

Cette expression tend vers

\pm \infty

(selon le signe de

f'(0)x

). Ainsi,

g_n(x)

ne converge pas vers une limite finie non nulle.

Deuxième cas : $f'(0) = 0$ . Le développement devient :

\ln(g_n(x)) = n \ln\left( 1 + \frac{f''(0)x^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)

En utilisant

\ln(1+u) = u + o(u)

quand

u \to 0

:

\ln(g_n(x)) = n \left( \frac{f''(0)x^2}{2n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) = \frac{f''(0)x^2}{2} + o(1)

Ainsi, $\ln(g_n(x)) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{f''(0)x^2}{2}$ , d'où $g_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{\frac{f''(0)x^2}{2}}$ .

La condition nécessaire et suffisante est donc :

\boxed{ f'(0) = 0 }

2. Convergence uniforme sur tout segment.

Soit $A > 0$ et $I = [-A, A]$ . On suppose $f'(0)=0$ . D'après l'inégalité de Taylor-Lagrange, comme $f$ est $\mathcal{C}^2$ , il existe une fonction $\varepsilon$ telle que :

f(t) = 1 + \frac{f''(0)}{2}t^2 + t^2\varepsilon(t)   \text{avec}   \lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0

Pour $x \in I$ et $n$ assez grand (tel que $|x/\sqrt{n}|$ soit dans un voisinage de $0$ où $f > 0$ ), on a :

\ln(g_n(x)) = n \ln\left( 1 + \frac{x^2}{n} \left( \frac{f''(0)}{2} + \varepsilon\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) \right) \right)

On utilise l'inégalité $|\ln(1+u) - u| \leq u^2$ valable pour $|u| \leq 1/2$ . Posons $u_n(x) = \frac{x^2}{n} \left( \frac{f''(0)}{2} + \varepsilon\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) \right)$ . Pour $x \in I$ , $|u_n(x)| \leq \frac{A^2}{n} C$ où $C$ est une constante. Donc pour $n$ assez grand, $\sup_{x \in I} |u_n(x)| \to 0$ .

Alors :

\left| \ln(g_n(x)) - \frac{f''(0)x^2}{2} \right| \leq n |u_n(x) - \frac{f''(0)x^2}{2n}| + n |u_n(x)|^2

\left| \ln(g_n(x)) - \frac{f''(0)x^2}{2} \right| \leq x^2 \left| \varepsilon\left(\frac{x}{\sqrt{n}}\right) \right| + \frac{C^2 A^4}{n}

Comme $\varepsilon(t) \to 0$ quand $t \to 0$ , et que $|x/\sqrt{n}| \leq A/\sqrt{n}$ , on a :

\sup_{x \in I} \left| \ln(g_n(x)) - \frac{f''(0)x^2}{2} \right| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0

La convergence de $\ln(g_n)$ vers $x \mapsto \frac{f''(0)x^2}{2}$ est uniforme sur $I$ . Par composition avec l'exponentielle (qui est uniformément continue sur tout segment contenant les valeurs de nos fonctions), on en déduit :

\boxed{ (g_n) \text{ converge uniformément vers } x \mapsto \exp\left( \frac{f''(0)x^2}{2} \right) \text{ sur } [-A, A] }

Oubli de la condition f'(0)=0 ou manque de rigueur sur le domaine du logarithme.

Méthode du passage à l'exponentielle pour les puissances n-ièmes dépendant d'un paramètre.