Série de fonctions et limite de sommes

Résolution.

1. Soit $k \in \mathbb{N}^*$ fixé. Étudions la fonction $f_k$ sur $[1, +\infty[$. Pour tout $x > k$, nous pouvons écrire :
   $$f_k(x) = \exp \left( x \ln \left( 1 - \frac{k}{x} \right) \right)$$
   En utilisant l'inégalité concave classique $\forall u \in ]-\infty, 1[, \ln(1-u) \leq -u$, on applique ce résultat à $u = \frac{k}{x} \in ]0, 1[$. Il vient alors :
   $$\ln \left( 1 - \frac{k}{x} \right) \leq - \frac{k}{x}$$
   En multipliant par $x > 0$, on obtient $x \ln \left( 1 - \frac{k}{x} \right) \leq -k$. Par croissance de la fonction exponentielle :
   $$\forall x > k,   f_k(x) \leq e^{-k}$$
   Comme $f_k(x) = 0$ pour $x \in [1, k]$, cette majoration est valable sur tout l'intervalle $[1, +\infty[$. On en déduit la borne supérieure :
   $$\|f_k\|_{\infty, [1, +\infty[} \leq e^{-k}$$
   La série numérique $\sum_{k \geq 1} e^{-k}$ est une série géométrique de raison $e^{-1} \in ]-1, 1[$, elle est donc convergente. Par comparaison, la série de fonctions $\sum f_k$ converge normalement sur $[1, +\infty[$.
   $$\boxed{\sum f_k \text{ converge normalement sur } [1, +\infty[}$$

2. Posons $S_n = \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{k}{n} \right)^n$. Effectuons le changement d'indice $j = n - k$. Lorsque $k$ varie de $1$ à $n-1$, $j$ varie également de $n-1$ à $1$. On a alors :
   $$S_n = \sum_{j=1}^{n-1} \left( \frac{n-j}{n} \right)^n = \sum_{j=1}^{n-1} \left( 1 - \frac{j}{n} \right)^n$$
   D'après la définition de $f_j$, on remarque que pour $j < n$, $f_j(n) = (1 - j/n)^n$. Pour $j \geq n$, on a $f_j(n) = 0$. On peut donc écrire la somme comme une série infinie :
   $$S_n = \sum_{j=1}^{n-1} f_j(n) = \sum_{j=1}^{+\infty} f_j(n)$$
   Nous souhaitons calculer $\lim_{n \to +\infty} S_n$. Comme la série $\sum f_j$ converge normalement (donc uniformément) sur $[1, +\infty[$, et que chaque fonction $f_j$ admet une limite finie en $+\infty$, le théorème d'interversion limite-somme s'applique. Calculons la limite de chaque terme :
   $$\lim_{x \to +\infty} f_j(x) = \lim_{x \to +\infty} \exp \left( x \ln \left( 1 - \frac{j}{x} \right) \right)$$
   Grâce au développement limité $\ln(1 - u) = -u + o(u)$ au voisinage de 0, on a pour $x \to +\infty$ :
   $$x \ln \left( 1 - \frac{j}{x} \right) = x \left( -\frac{j}{x} + o\left(\frac{1}{x}\right) \right) = -j + o(1)$$
   Ainsi, $\lim_{x \to +\infty} f_j(x) = e^{-j}$. D'après le théorème d'interversion :
   $$\lim_{n \to +\infty} \sum_{j=1}^{+\infty} f_j(n) = \sum_{j=1}^{+\infty} \lim_{n \to +\infty} f_j(n) = \sum_{j=1}^{+\infty} e^{-j}$$
   Il s'agit d'une série géométrique de premier terme $e^{-1}$ et de raison $e^{-1}$ :
   $$\sum_{j=1}^{+\infty} (e^{-1})^j = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}} = \frac{1}{e - 1}$$
   On conclut finalement :
   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{k}{n} \right)^n = \frac{1}{e - 1}}$$