Produit infini et décomposition binaire

Soit $x$ un nombre réel. Pour tout entier naturel $n$ , on définit le produit :

P_n(x) = \prod_{k = 0}^n \left(1 + x^{2^k}\right)

Pour $x \neq 1$ , déterminer une expression simplifiée de $P_n(x)$ sous forme d'une somme de puissances de $x$ , puis sous forme d'un quotient.
Étudier la convergence de la suite $(P_n(x))_{n \geqslant 0}$ selon les valeurs de $x$ et déterminer sa limite lorsqu'elle existe.

1.

Question 1 : On pourra soit utiliser l'unicité du développement en base 2 des entiers, soit multiplier l'expression par $(1-x)$ et procéder par récurrence ou par télescopage.

2.

Question 2 : Discuter selon que $|x| < 1$ , $x = 1$ , $x = -1$ ou $|x| > 1$ .

Idées clés

•

Identification d'une somme géométrique via la décomposition binaire.

•

Utilisation de l'identité remarquable $(1-a)(1+a) = 1-a^2$ .

•

Analyse de la limite d'une suite géométrique.

1. Simplification de l'expression de $P_n(x)$ .

Méthode 1 : Par le développement en base 2. En développant le produit $P_n(x) = (1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^n})$ , on obtient une somme de termes de la forme :

x^{\epsilon_0 \cdot 2^0 + \epsilon_1 \cdot 2^1 + \dots + \epsilon_n \cdot 2^n}

où chaque

\epsilon_k \in \{0, 1\}

.

D'après le théorème de décomposition en base 2, tout entier $m \in \llbracket 0, 2^{n+1}-1 \rrbracket$ possède une unique écriture sous cette forme. Ainsi, le produit est exactement la somme de toutes les puissances de $x$ de $0$ à $2^{n+1}-1$ :

\boxed{ P_n(x) = \sum_{m=0}^{2^{n+1}-1} x^m }

Méthode 2 : Par identité algébrique (si $x \neq 1$ ). On remarque que :

(1-x) P_n(x) = (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^n})

En utilisant successivement l'identité $(1-a)(1+a) = 1-a^2$ , on obtient par récurrence :

(1-x)P_n(x) = (1-x^2)(1+x^2)(1+x^4)\dots(1+x^{2^n}) = 1 - x^{2^{n+1}}

Comme $x \neq 1$ , on en déduit l'expression rationnelle :

\boxed{ P_n(x) = \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1 - x} }

2. Étude de la convergence.

Cas 1 : $|x| < 1$ . Dans ce cas, $\lim_{n \to +\infty} 2^{n+1} = +\infty$ et comme $|x| < 1$ , on a $\lim_{n \to +\infty} x^{2^{n+1}} = 0$ . D'après l'expression précédente :

\lim_{n \to +\infty} P_n(x) = \frac{1 - 0}{1 - x} = \frac{1}{1-x}

Cas 2 : $x = 1$ . D'après la définition du produit, $P_n(1) = \prod_{k=0}^n (1+1) = 2^{n+1}$ .

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} P_n(1) = +\infty   (\text{Divergence}) }

Cas 3 : $x = -1$ . Pour tout $k \geqslant 1$ , $x^{2^k} = (-1)^{2^k} = 1$ car $2^k$ est pair. Cependant, pour $k=0$ , $x^{2^0} = -1$ . Le premier facteur du produit est $1 + (-1) = 0$ . Dès lors, pour tout $n \geqslant 0$ , $P_n(-1) = 0$ .

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} P_n(-1) = 0 }

Cas 4 : $x > 1$ . Alors $x^{2^{n+1}} \to +\infty$ . Comme $1-x < 0$ , on a par quotient :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} P_n(x) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - x^{2^{n+1}}}{1 - x} = +\infty   (\text{Divergence}) }

Cas 5 : $x < -1$ . Alors $|x| > 1$ , donc $x^{2^{n+1}} = (|x|)^{2^{n+1}} \to +\infty$ car l'exposant est pair. Comme $1-x > 2$ , le numérateur tend vers $-\infty$ et le dénominateur est positif :

\boxed{ \lim_{n \to +\infty} P_n(x) = -\infty   (\text{Divergence}) }

Cas particulier x = -1 à ne pas occulter.

L'identité du produit des (1+x^{2^k}) est liée à la décomposition binaire.