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Calcul d'une somme de série par transformation intégrale

série rationnelleintégration terme à termefonction digammadécomposition en éléments simplesThéorème de convergence dominéeChangement de variable

L'objectif de cet exercice est de déterminer la valeur exacte de la somme de la série suivante :

S=∑n=0+∞1(n+13)(n+14)S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{\left(n+\frac{1}{3}\right)\left(n+\frac{1}{4}\right)}

  1. Justifier la convergence de la série.
  2. Exprimer le terme général de la série comme une différence de deux termes simples, puis établir une représentation intégrale de la somme SS.
  3. En déduire que :
    S=2(18ln⁡(2)−9ln⁡(3)+(3−3)π)S = 2\left(18 \ln (2) - 9 \ln (3) + (3-\sqrt{3}) \pi\right)

1.

Utiliser une décomposition en éléments simples du terme général pour faire apparaître une différence de fractions.

2.

Utiliser la relation 1n+a=∫01tn+a−1 dt\frac{1}{n+a} = \int_0^1 t^{n+a-1}   dt pour a>0a > 0 et justifier l'interversion somme-intégrale.

3.

Pour le calcul des intégrales de la forme ∫01ta−1−tb−11−t dt\int_0^1 \frac{t^{a-1} - t^{b-1}}{1-t}   dt, on pourra introduire le terme 1−tb−11−t−1−ta−11−t\frac{1-t^{b-1}}{1-t} - \frac{1-t^{a-1}}{1-t} et effectuer des changements de variables t=ukt=u^k.

Idées clés

•

Décomposition en éléments simples.

•

Représentation intégrale des sommes de fractions.

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Primitivation de fractions rationnelles par changement de variable.

Résolution.

  1. Convergence de la série. Le terme général un=1(n+13)(n+14)u_n = \frac{1}{\left(n+\frac{1}{3}\right)\left(n+\frac{1}{4}\right)} est équivalent au voisinage de +∞+\infty à :
    un∼1n2u_n \sim \frac{1}{n^2}
    Comme la série de Riemann ∑1n2\sum \frac{1}{n^2} converge, par comparaison de séries à termes positifs, la série ∑un\sum u_n est convergente.

  2. Représentation intégrale. Effectuons une décomposition en éléments simples de unu_n :
    1(n+13)(n+14)=114−13(1n+13−1n+14)=−12(1n+13−1n+14)\frac{1}{\left(n+\frac{1}{3}\right)\left(n+\frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{4}-\frac{1}{3}} \left( \frac{1}{n+\frac{1}{3}} - \frac{1}{n+\frac{1}{4}} \right) = -12 \left( \frac{1}{n+\frac{1}{3}} - \frac{1}{n+\frac{1}{4}} \right)
    Soit :
    un=12(1n+14−1n+13)\boxed{ u_n = 12 \left( \frac{1}{n+\frac{1}{4}} - \frac{1}{n+\frac{1}{3}} \right) }

    Pour tout a>0a > 0, on sait que 1n+a=∫01tn+a−1 dt\frac{1}{n+a} = \int_0^1 t^{n+a-1}   dt. On peut donc écrire :

    un=12∫01(tn−34−tn−23) dtu_n = 12 \int_0^1 \left( t^{n-\frac{3}{4}} - t^{n-\frac{2}{3}} \right)   dt

    Considérons la série de fonctions ∑fn\sum f_n où fn(t)=tn(t−3/4−t−2/3)f_n(t) = t^n \left( t^{-3/4} - t^{-2/3} \right). La somme partielle est SN(t)=t−3/4−t−2/31−t(1−tN+1)S_N(t) = \frac{t^{-3/4} - t^{-2/3}}{1-t} (1-t^{N+1}). Sur ]0,1[]0, 1[, la suite de fonctions (SN)(S_N) converge simplement vers f(t)=t−3/4−t−2/31−tf(t) = \frac{t^{-3/4} - t^{-2/3}}{1-t}. De plus, ∣SN(t)∣≤∣f(t)∣|S_N(t)| \leq |f(t)|. La fonction ff est intégrable sur ]0,1[]0, 1[ car :

    • En 00, f(t)∼t−3/4−t−2/3f(t) \sim t^{-3/4} - t^{-2/3}, qui est intégrable (puissances de Riemann <1< 1).
    • En 11, par développement limité ta=1+a(t−1)+o(t−1)t^a = 1 + a(t-1) + o(t-1), on a f(t)→23−34=−112f(t) \to \frac{2}{3} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{12}.
    Par le théorème de convergence dominée, on peut intervertir :
    S=12∫01t−3/4−t−2/31−t dt\boxed{ S = 12 \int_0^1 \frac{t^{-3/4} - t^{-2/3}}{1-t}   dt }

  3. Calcul de l'intégrale. Séparons l'intégrale en deux en utilisant une régularisation par 11 :
    S=12(∫011−t−2/31−t dt−∫011−t−3/41−t dt)S = 12 \left( \int_0^1 \frac{1-t^{-2/3}}{1-t}   dt - \int_0^1 \frac{1-t^{-3/4}}{1-t}   dt \right)

    Calcul de I1=∫011−t−2/31−t dtI_1 = \int_0^1 \frac{1-t^{-2/3}{1-t}   dt :} Posons t=x3t = x^3, d'où dt=3x2 dxdt = 3x^2   dx.

    I1=∫011−x−21−x33x2 dx=∫013(x2−1)1−x3 dx=3∫01x+1x2+x+1 dxI_1 = \int_0^1 \frac{1-x^{-2}}{1-x^3} 3x^2   dx = \int_0^1 \frac{3(x^2-1)}{1-x^3}   dx = 3 \int_0^1 \frac{x+1}{x^2+x+1}   dx
    En utilisant x+1x2+x+1=122x+1x2+x+1+121(x+1/2)2+3/4\frac{x+1}{x^2+x+1} = \frac{1}{2} \frac{2x+1}{x^2+x+1} + \frac{1}{2} \frac{1}{(x+1/2)^2 + 3/4} :
    I1=32[ln⁡(x2+x+1)+23arctan⁡(2x+13)]01I_1 = \frac{3}{2} \left[ \ln(x^2+x+1) + \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) \right]_0^1
    I1=32ln⁡(3)+3(π3−π6)=32ln⁡(3)+π23I_1 = \frac{3}{2} \ln(3) + \sqrt{3} \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right) = \boxed{ \frac{3}{2} \ln(3) + \frac{\pi}{2\sqrt{3}} }

    Calcul de I2=∫011−t−3/41−t dtI_2 = \int_0^1 \frac{1-t^{-3/4}{1-t}   dt :} Posons t=x4t = x^4, d'où dt=4x3 dxdt = 4x^3   dx.

    I2=∫011−x−31−x44x3 dx=∫014(x3−1)1−x4 dx=4∫01x2+x+1(x+1)(x2+1) dxI_2 = \int_0^1 \frac{1-x^{-3}}{1-x^4} 4x^3   dx = \int_0^1 \frac{4(x^3-1)}{1-x^4}   dx = 4 \int_0^1 \frac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)}   dx
    Par décomposition en éléments simples : x2+x+1(x+1)(x2+1)=1/2x+1+x/2+1/2x2+1\frac{x^2+x+1}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{1/2}{x+1} + \frac{x/2 + 1/2}{x^2+1}.
    I2=4[12ln⁡(x+1)+14ln⁡(x2+1)+12arctan⁡(x)]01I_2 = 4 \left[ \frac{1}{2} \ln(x+1) + \frac{1}{4} \ln(x^2+1) + \frac{1}{2} \arctan(x) \right]_0^1
    I2=2ln⁡(2)+ln⁡(2)+2π4=3ln⁡(2)+π2I_2 = 2 \ln(2) + \ln(2) + 2 \frac{\pi}{4} = \boxed{ 3 \ln(2) + \frac{\pi}{2} }

    Conclusion :

    S=12(I2−I1)=12(3ln⁡(2)+π2−32ln⁡(3)−π23)S = 12 \left( I_2 - I_1 \right) = 12 \left( 3 \ln(2) + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} \ln(3) - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} \right)
    S=36ln⁡(2)−18ln⁡(3)+6π−6π3S = 36 \ln(2) - 18 \ln(3) + 6\pi - \frac{6\pi}{\sqrt{3}}
    En factorisant par 22 et sachant que 63=23\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} :
    S=2(18ln⁡(2)−9ln⁡(3)+(3−3)π)\boxed{ S = 2 \left( 18 \ln(2) - 9 \ln(3) + (3-\sqrt{3}) \pi \right) }

Séparation d'intégrales divergentes sans précaution.

Représentation intégrale de la différence de termes de séries de Riemann.