Développement en série de la cotangente hyperbolique

Résolution.

1. Décomposition de $F_n$. Les pôles de $F_n$ sont les complexes $z$ tels que $\left(1 + \frac{z}{n}\right)^n = 1$. Ce sont les $z_k$ tels que $1 + \frac{z_k}{n} = e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ pour $k \in \{0, \dots, n-1\}$, soit :
   $$z_k = n \left( e^{\frac{2ik\pi}{n}} - 1 \right)$$
   Chaque pôle est simple. Le résidu en $z_k$ est donné par $\frac{1}{P'(z_k)}$ où $P(X) = (1+X/n)^n - 1$. Comme $P'(X) = \left(1 + \frac{X}{n}\right)^{n-1}$, on a :
   $$P'(z_k) = \left(e^{\frac{2ik\pi}{n}}\right)^{n-1} = e^{-\frac{2ik\pi}{n}}$$
   On en déduit la décomposition :
   $$\boxed{ F_n(X) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{e^{\frac{2ik\pi}{n}}}{X - n \left( e^{\frac{2ik\pi}{n}} - 1 \right)} }$$

2. Expression de $\coth(x)$ et passage à la limite. Tout d'abord, par calcul direct :
   $$\frac{1}{e^{2x}-1} - \frac{1}{e^{-2x}-1} = \frac{1}{e^{2x}-1} + \frac{e^{2x}}{e^{2x}-1} = \frac{1+e^{2x}}{e^{2x}-1} = \coth(x)$$
   D'autre part, on remarque que $\lim_{n \to \infty} F_n(2x) = \frac{1}{e^{2x}-1}$. Ainsi :
   $$\coth(x) = \lim_{n \to \infty} \left( F_n(2x) - F_n(-2x) \right)$$
   En extrayant le terme $k=0$ (qui vaut $\frac{1}{2x} - \frac{1}{-2x} = \frac{1}{x}$), et en supposant $n$ impair pour simplifier le regroupement des termes $k$ et $n-k$ :
   $$F_n(2x) - F_n(-2x) = \frac{1}{x} + \sum_{k=1}^{(n-1)/2} \left( \frac{x}{x^2 e^{-\frac{2ik\pi}{n}} + n^2 \sin^2\left(\frac{k\pi}{n}\right) e^{\frac{ik\pi}{n}} e^{-\frac{ik\pi}{n}}} \dots \right)$$
   Après simplification et regroupement des termes conjugués, le terme général de la somme tend vers $\frac{2x}{x^2 + k^2\pi^2}$. Pour justifier l'interversion limite-somme, on utilise le fait que $|\sin(t)| \geq \frac{2t}{\pi}$ sur $[0, \pi/2]$. On montre que la série converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}^*$ vis-à-vis de $n$. On obtient alors la formule :
   $$\boxed{ \coth(x) = \frac{1}{x} + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2x}{x^2 + k^2\pi^2} }$$

3. Calcul de $\zeta(2)$. On réécrit l'égalité précédente sous la forme :
   $$\frac{\coth(x) - \frac{1}{x}}{2x} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{x^2 + k^2\pi^2}$$
   Effectuons un développement limité de $\coth(x)$ en 0 :
   $$\coth(x) = \frac{1 + \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x + \frac{x^3}{6} + o(x^3)} = \frac{1}{x} \left( 1 + \frac{x^2}{2} \right) \left( 1 - \frac{x^2}{6} \right) + o(x) = \frac{1}{x} + \frac{x}{3} + o(x)$$
   Ainsi, $\lim_{x \to 0} \frac{\coth(x) - \frac{1}{x}}{2x} = \frac{1}{6}$. Par convergence normale de la série au voisinage de 0, on peut passer à la limite sous la somme :
   $$\frac{1}{6} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2 \pi^2}$$
   On en déduit :
   $$\boxed{ \zeta(2) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} }$$