Convergence de la suite de Stirling

Résolution.

1. Réalisons un développement limité du terme $u_n$ quand $n \to +\infty$. On pose $x = \frac{1}{n}$, de sorte que $x \to 0$. On a :
   $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$
   En remplaçant $x$ par $1/n$, il vient :
   $$\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right)$$
   Multiplions par $(n + 1/2)$ :
   $$\left(n + \frac{1}{2}\right) \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \left(n + \frac{1}{2}\right) \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \right)$$
   Distribuons les termes :
   $$= \left( 1 - \frac{1}{2n} + \frac{1}{3n^2} \right) + \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{4n^2} \right) + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   Simplifions l'expression :
   $$= 1 + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) = 1 + \frac{1}{12n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   Par conséquent :
   $$u_n = 1 - \left( 1 + \frac{1}{12n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = - \frac{1}{12n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$$
   On en déduit l'équivalent suivant :
   $$\boxed{ u_n \sim - \frac{1}{12n^2} }$$
   Puisque la série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, par comparaison de séries à termes de signe constant (à partir d'un certain rang), on conclut :
   $$\boxed{ \text{La série } \sum u_n \text{ converge.} }$$

2. Étudions le rapport de deux termes consécutifs de la suite $(v_n)$.
   $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{e^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+3/2}} \times \frac{n^{n+1/2}}{e^n n!}$$
   En simplifiant les factorielles et les exponentielles :
   $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{e \cdot (n+1) \cdot n^{n+1/2}}{(n+1)^{n+3/2}} = \frac{e \cdot n^{n+1/2}}{(n+1)^{n+1/2}} = e \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n+1/2}$$
   Passons au logarithme :
   $$\ln\left(\frac{v_{n+1}}{v_n}\right) = \ln(e) + \ln\left[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-(n+1/2)} \right]$$
   D'où :
   $$\ln(v_{n+1}) - \ln(v_n) = 1 - \left(n + \frac{1}{2}\right) \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = u_n$$
   La série $\sum u_n$ est la série télescopique associée à la suite $(\ln v_n)$. D'après le cours, la série $\sum (\ln v_{n+1} - \ln v_n)$ converge si et seulement si la suite $(\ln v_n)$ converge. Comme nous avons prouvé que $\sum u_n$ converge, on en déduit qu'il existe un réel $\ell$ tel que :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} \ln(v_n) = \ell }$$
   Par continuité de la fonction exponentielle, on en conclut que :
   $$\lim_{n \to +\infty} v_n = e^\ell$$
   Puisque l'exponentielle est strictement positive, on a bien :
   $$\boxed{ \lim_{n \to +\infty} v_n = L > 0 }$$