Algorithme de Dini pour la racine carrée

Résolution.

1. Fixons $x \in [0,1]$. Montrons par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N}, \ 0 \le f_n(x) \le \sqrt{x}$. Pour $n=0$, $f_0(x)=0$, donc l'encadrement est vrai. Supposons $0 \le f_n(x) \le \sqrt{x}$. Posons $g(u) = u + \frac{1}{2}(x-u^2)$. La fonction $g$ est dérivable sur $[0, \sqrt{x}]$ et $g'(u) = 1 - u \ge 1 - \sqrt{x} \ge 0$. Ainsi $g$ est croissante sur $[0, \sqrt{x}]$. On en déduit :
   $$g(0) \le g(f_n(x)) \le g(\sqrt{x})$$
   Ce qui donne $\frac{x}{2} \le f_{n+1}(x) \le \sqrt{x}$. L'encadrement est vérifié au rang $n+1$.
2. Pour tout $x \in [0,1]$, la suite $(f_n(x))$ est croissante car $f_{n+1}(x) - f_n(x) = \frac{1}{2}(x - f_n(x)^2) \ge 0$. Comme elle est majorée par $\sqrt{x}$, elle converge vers une limite $\ell(x) \in [0, \sqrt{x}]$. Par passage à la limite dans la relation de récurrence : $\ell(x) = \ell(x) + \frac{1}{2}(x - \ell(x)^2)$, d'où $\ell(x)^2 = x$. Comme $f_n(x) \ge 0$, on a :
   $$\boxed{\forall x \in [0,1], \ f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sqrt{x}}$$

3. Calculons l'écart à la limite :
   $$\sqrt{x} - f_{n+1}(x) = \sqrt{x} - f_n(x) - \frac{1}{2}(x - f_n(x)^2) = \sqrt{x} - f_n(x) - \frac{1}{2}(\sqrt{x} - f_n(x))(\sqrt{x} + f_n(x))$$
   On factorise :
   $$\boxed{\sqrt{x} - f_{n+1}(x) = (\sqrt{x} - f_n(x)) \left(1 - \frac{\sqrt{x} + f_n(x)}{2}\right)}$$

4. Les fonctions $f_n$ sont polynomiales donc continues sur le compact $[0,1]$. La suite $(f_n)$ converge simplement vers $f: x \mapsto \sqrt{x}$ qui est continue sur $[0,1]$. De plus, pour tout $x \in [0,1]$, la suite $(f_n(x))$ est monotone (croissante). D'après le premier théorème de Dini, la convergence est uniforme sur $[0,1]$.