Itérations de fonctions contractantes

Soit $f: [-1,1] \rightarrow [-1,1]$ une fonction continue telle que :

\forall x \in [-1,1] \setminus \{0\}, \ |f(x)| < |x|

On définit par récurrence la suite de fonctions

(f_n)

par

f_0(x) = x

et

f_{n+1}(x) = f(f_n(x))

. Étudier la convergence simple de cette suite.

1.

Pour $x$ fixé, étudier la suite numérique $u_n = |f_n(x)|$ .

2.

Utiliser la compacité pour extraire des sous-suites si nécessaire, ou plus simplement la continuité et l'unicité du point fixe.

Idées clés

•

Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$

•

Utilisation de la valeur absolue comme fonction de Lyapounov

•

Argument de compacité/continuité pour la limite

Résolution.

Soit $x \in [-1,1]$ . Posons $u_n = f_n(x)$ . Si $u_{n_0} = 0$ , alors tous les termes suivants sont nuls car $|f(0)| \le |0|$ impose $f(0)=0$ .

Supposons que pour tout $n$ , $u_n \neq 0$ . Alors $|u_{n+1}| = |f(u_n)| < |u_n|$ . La suite $(|u_n|)_{n \in \mathbb{N}}$ est strictement décroissante et minorée par 0.

Elle converge donc vers une limite $L \ge 0$ . Puisque $(u_n)$ est une suite du compact $[-1,1]$ , elle admet au moins une valeur d'adhérence $\ell$ . Par continuité de la valeur absolue, on a $|\ell| = L$ .

Comme $f$ est continue, $f(u_n)$ converge vers $f(\ell)$ (si on se place sur une sous-suite). On doit avoir $|f(\ell)| = L = |\ell|$ .

D'après l'hypothèse sur $f$ , cela n'est possible que si $\ell = 0$ . La seule valeur d'adhérence possible pour $(u_n)$ est donc 0.

Puisque la suite est dans un compact et possède une unique valeur d'adhérence, elle converge vers cette valeur.

\boxed{\forall x \in [-1,1], \ f_n(x) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}

Pas de Banach direct

Lien entre point fixe et limites de suites