Radicaux itérés de fonctions

Résolution.

1. Pour $x \ge 0$ fixé, la suite $(f_n(x))$ est croissante par récurrence. Elle est majorée (par exemple par $1+x$). Elle converge vers $L \ge 0$ tel que $L^2 = x+L$. La résolution de $L^2 - L - x = 0$ donne :
   $$\boxed{f_\infty(x) = \frac{1 + \sqrt{1 + 4x}}{2}}$$

2. Les fonctions $f_n$ sont continues, la limite $f_\infty$ est continue. Sur le segment $[0, a]$, on peut utiliser le premier théorème de Dini puisque la suite est monotone en $n$ pour chaque $x$.
   $$\boxed{\text{La convergence est uniforme sur tout segment } [0, a]}$$

3. Étudions l'écart à l'infini. $f_\infty(x) \sim \sqrt{x}$ pour $x \to +\infty$. $f_1(x) = \sqrt{x}$. $f_\infty(x) - f_n(x) = \frac{f_\infty(x)^2 - f_n(x)^2}{f_\infty(x) + f_n(x)} = \frac{f_\infty(x) - f_{n-1}(x)}{f_\infty(x) + f_n(x)}$. Pour $x$ très grand, cet écart tend vers 0 à $n$ fixé ? Non. Pour $x=0$, $f_n(0) \to 1$. Mais $f_n(0)$ est la suite $u_{n+1} = \sqrt{u_n}$ partant de 0 ? Non, $f_0(0)=0 \implies f_1(0)=0 \implies f_n(0)=0$. Et $f_\infty(0)=1$. Il y a un problème en $x=0$ ! En $x=0$, $f_n(0) = 0$ pour tout $n$, mais $f_\infty(0) = 1$. La convergence simple n'est pas continue en 0 ? Vérifions : $f_1(x) = \sqrt{x}$, $f_2(x) = \sqrt{x+\sqrt{x}}$. $f_n(x) \xrightarrow[x \to 0]{} 0$ pour tout $n$. Mais $f_\infty(x) \xrightarrow[x \to 0]{} 1$. La limite $f_\infty$ n'est pas continue en 0.
   $$\boxed{\text{Il n'y a pas convergence uniforme sur } [0, a] \text{ si celui-ci contient 0.}}$$