Sommation et intégrabilité d'une série d'exponentielles

Pour $n \geq 1$ et $x > 0$ , on pose $u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n} e^{-(n+1)x}$ . On note $S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n(x)$ .

Étudier la convergence simple et uniforme de $\sum u_n$ sur $\mathbb{R}_+^*$ . La convergence est-elle normale sur cet intervalle ?
Justifier que la fonction $F: x \mapsto e^x S(x)$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et calculer $F'(x)$ .
Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$ . En déduire une expression explicite de $S(x)$ pour $x > 0$ .
Montrer que $S$ est intégrable sur $\mathbb{R}_+^*$ .

1.

Pour la convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+^*$ , utiliser le CSA. Pour la convergence normale, regarder ce qui se passe quand $x \to 0$ .

2.

$F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} e^{-nx}$ . Utiliser le théorème de dérivation terme à terme.

3.

Pour intégrer $F'(x)$ , remarquer que $F'(x) = \frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ est de la forme $u'/u$ .

Idées clés

•

Théorème de dérivation terme à terme pour les séries de fonctions.

•

Relation entre convergence uniforme et limites (limite en $+\infty$ ).

•

Critère de convergence des intégrales de fonctions continues.

Résolution.

Convergences. Pour $x > 0$ fixé, la suite $(|u_n(x)|)$ est décroissante et tend vers 0. Par le CSA, la série converge simplement. Le reste $R_N(x)$ vérifie $|R_N(x)| \leq |u_{N+1}(x)| = \frac{e^{-(N+2)x}}{N+1} \leq \frac{1}{N+1}$ . Cette majoration est indépendante de $x$ , donc la série converge uniformément sur $\mathbb{R}_+^*$ . Pour la convergence normale : $\|u_n\|_\infty = \sup_{x>0} |u_n(x)| = |u_n(0)| = \frac{1}{n}$ . La série $\sum \frac{1}{n}$ diverge. $\boxed{\text{Convergence uniforme sur } \mathbb{R}_+^*, \text{ mais pas normale.}}$
Dérivation. On a $F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} v_n(x)$ avec $v_n(x) = \frac{(-1)^n}{n} e^{-nx}$ . Les $v_n$ sont $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et $v_n'(x) = (-1)^{n+1} e^{-nx}$ . La série $\sum v_n$ converge simplement. La série $\sum v_n'$ est une série géométrique de raison $-e^{-x}$ . Comme $|-e^{-x}| < 1$ pour $x>0$ , elle converge. Pour tout $a > 0$ , sur $[a, +\infty[$ , $|v_n'(x)| \leq (e^{-a})^n$ , donc $\sum v_n'$ converge normalement (donc uniformément) sur $[a, +\infty[$ . Par théorème de dérivation, $F$ est $\mathscr{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+^*$ et : $F'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} (e^{-x})^n = \frac{e^{-x}}{1 - (-e^{-x})} = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}$ $\boxed{F'(x) = \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}}}$
Expression de $S(x)$ . On intègre $F'(x)$ : $F(x) = -\ln(1 + e^{-x}) + C$ . Comme $\sum v_n$ converge uniformément sur $[1, +\infty[$ et $\lim_{x\to +\infty} v_n(x) = 0$ , on a $\lim_{x\to +\infty} F(x) = 0$ . Or $\lim_{x\to +\infty} -\ln(1 + e^{-x}) = -\ln(1) = 0$ . Donc $C=0$ . On en déduit $F(x) = -\ln(1 + e^{-x}) = -\ln\left(\frac{e^x+1}{e^x}\right) = \ln(e^x) - \ln(e^x+1) = x - \ln(e^x+1)$ . Finalement, comme $S(x) = e^{-x} F(x)$ : $\boxed{S(x) = e^{-x} \left( x - \ln(1 + e^x) \right)}$
Intégrabilité. La fonction $S$ est continue sur $]0, +\infty[$ . En $0$ , par convergence uniforme sur $\mathbb{R}_+$ , $S$ se prolonge par continuité : $S(0) = \lim_{x\to 0} S(x) = 1(0 - \ln 2) = -\ln 2$ . En $+\infty$ , $S(x) = x e^{-x} - e^{-x} \ln(1 + e^x) \sim x e^{-x} - e^{-x} \cdot x = 0$ . Plus précisément, $S(x) = e^{-x} (x - \ln(e^x(1+e^{-x}))) = e^{-x} (x - x - \ln(1+e^{-x})) = -e^{-x} \ln(1+e^{-x}) \sim -e^{-2x}$ . La fonction décroît exponentiellement vite, elle est donc intégrable. $\boxed{S \text{ est intégrable sur } \mathbb{R}_+^*.}$

Justifier la dérivation sur des intervalles de la forme [a, +inf[.

Pour sommer une série, on peut dériver terme à terme puis intégrer la somme obtenue.