Approximation uniforme par des fractions rationnelles

Résolution.

1. Cas de la demi-droite $[0, +\infty[$. Considérons l'application $\varphi : [0, 1] \to [0, +\infty]$ définie par $\varphi(t) = \frac{t}{1-t}$ pour $t \in [0, 1[$ et $\varphi(1) = +\infty$. C'est un homéomorphisme de $[0, 1]$ sur $[0, +\infty]$. Définissons $g : [0, 1] \to \mathbb{R}$ par $g(t) = f\left(\frac{t}{1-t}\right)$ pour $t < 1$ et $g(1) = \lim_{x \to +\infty} f(x)$. Par hypothèse, $g$ est continue sur le segment $[0, 1]$. D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_n)$ convergeant uniformément vers $g$ sur $[0, 1]$. Posons alors $R_n(x) = P_n\left(\frac{x}{1+x}\right)$. Puisque $x \mapsto \frac{x}{1+x}$ est une fraction rationnelle sans pôle sur $[0, +\infty[$, $R_n$ est une fraction rationnelle sans pôle sur $[0, +\infty[$. De plus :
   $$\sup_{x \in [0, +\infty[} |f(x) - R_n(x)| = \sup_{t \in [0, 1[} |g(t) - P_n(t)| \le \|g - P_n\|_{\infty, [0, 1]} \xrightarrow[n \to \infty]{} 0$$
   $$\boxed{ f \text{ est limite uniforme de } (R_n) \text{ sur } [0, +\infty[ }$$

2. Cas de la droite réelle $\mathbb{R$ avec limites égales.} Posons $g(u) = f(\tan u)$ pour $u \in ]-\pi/2, \pi/2[$. Comme $\lim_{\pm \infty} f = \ell$, on peut prolonger $g$ par continuité en $\pm \pi/2$ en posant $g(\pi/2) = g(-\pi/2) = \ell$. $g$ est alors continue sur $[-\pi/2, \pi/2]$ et périodique de période $\pi$. D'après le théorème de Weierstrass trigonométrique, $g$ est limite uniforme sur $[-\pi/2, \pi/2]$ d'une suite de polynômes trigonométriques $(T_n)$. Chaque $T_n(u)$ est une combinaison linéaire de $\cos(2ku)$ et $\sin(2ku)$. En posant $x = \tan u$, on sait que $\cos(2u) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$ et $\sin(2u) = \frac{2x}{1+x^2}$. Par les formules d'addition, $\cos(2ku)$ et $\sin(2ku)$ sont des fractions rationnelles en $x$. Ainsi, $R_n(x) = T_n(\arctan x)$ est une fraction rationnelle sans pôle sur $\mathbb{R}$. L'uniforme continuité garantit alors la convergence uniforme de $R_n$ vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
   $$\boxed{ f \text{ est limite uniforme de fractions rationnelles sur } \mathbb{R} }$$

3. Caractérisation sur $\mathbb{R$.} Sens direct ($\implies$) : Supposons que $f = \lim R_n$ uniformément sur $\mathbb{R}$ avec $R_n \in \mathcal{R}$. Comme $f$ est bornée, pour $n$ assez grand, $R_n$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Une fraction rationnelle $R = P/Q$ bornée sur $\mathbb{R}$ vérifie nécessairement $\deg P \le \deg Q$. Par conséquent, $R_n$ admet une limite finie $\ell_n$ en $+\infty$ et une limite finie $\ell'_n$ en $-\infty$. Or, pour toute fraction rationnelle, si la limite à l'infini existe, elle est donnée par le quotient des coefficients dominants :
   $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sum_{i=0}^p a_i x^i}{\sum_{j=0}^q b_j x^j} = \frac{a_p}{b_q} \text{ (si } p=q\text{) ou } 0 \text{ (si } p<q\text{)}$$
   Ce quotient est indépendant du signe de $x$ pour $x$ tendant vers $\pm \infty$. Donc $\ell_n = \ell'_n$. Par interversion de limites (autorisée par la convergence uniforme sur $\mathbb{R}$), $f$ admet une limite en $\pm \infty$ et :
   $$\lim_{+\infty} f = \lim_{n \to \infty} \ell_n = \lim_{n \to \infty} \ell'_n = \lim_{-\infty} f$$
   Sens réciproque ($\impliedby$) : C'est l'objet de la question 2.
   $$\boxed{ \text{Condition : } f \in C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \text{ et } \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} f(x) }$$