Équation fonctionnelle quadratique par itération

On s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ :

(E) : \forall x \in \mathbb{R},   f(2x) = 2f(x) - 2f(x)^2

Déterminer l'ensemble des fonctions constantes solutions de $(E)$ .
Soit $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = x h(x)$ . Traduire l'équation $(E)$ en une condition sur $h$ pour $x \neq 0$ .
On définit la suite de fonctions $(h_n)_{n \in \mathbb{N}}$ $(h_{n})_{n \in N}$ par $h_0(x) = 1$ $h_{0} (x) = 1$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$ $n \in N$ :
$h_{n+1}(x) = h_n\left(\frac{x}{2}\right) - \frac{x}{2} h_n\left(\frac{x}{2}\right)^2$
Pour $x \in [0, 1]$ $x \in [0, 1]$ , on considère l'application $T_x : [0, 1] \to \mathbb{R}$ $T_{x} : [0, 1] \to R$ définie par $T_x(y) = y - \frac{x}{2}y^2$ $T_{x} (y) = y - \frac{x}{2} y^{2}$ .
1. Montrer que $T_x$ est $1$ -lipschitzienne sur $[0, 1]$ et que $T_x([0, 1]) \subset [0, 1]$ .
2. Établir la convergence uniforme de la suite $(h_n)$ sur l'intervalle $[0, 1]$ .
En déduire l'existence d'une solution continue et non constante à l'équation $(E)$ sur $[0, 1]$ .
Proposer une méthode pour construire une solution continue non constante sur $\mathbb{R}^+$ .

1.

Pour la question 1, résoudre l'équation scalaire $C = 2C - 2C^2$ .

2.

Pour la convergence uniforme, utiliser le caractère lipschitzien de $T_x$ pour obtenir une majoration géométrique de $|h_{n+1}(x) - h_n(x)|$ .

3.

Pour l'extension à $\mathbb{R}^+$ , utiliser la relation de récurrence inversée : $f(x) = 2f(x/2) - 2f(x/2)^2$ .

Idées clés

•

Point fixe et itération de fonctions.

•

Critère de convergence des séries télescopiques pour les suites de fonctions.

•

Prolongement par raccordement continu.

Résolution.

Soit $f(x) = C$ une fonction constante solution. L'équation $(E)$ impose : $C = 2C - 2C^2 \iff 2C^2 - C = 0 \iff C(2C - 1) = 0$ Les solutions constantes sont donc : $\boxed{ f : x \mapsto 0 \text{et} f : x \mapsto \frac{1}{2} }$
En substituant $f(x) = xh(x)$ dans $(E)$ , on obtient pour $x \neq 0$ : $2x h(2x) = 2xh(x) - 2x^2 h(x)^2$ En divisant par $2x$ (pour $x \neq 0$ ), on trouve le lien suivant : $\boxed{ h(2x) = h(x) - x h(x)^2 }$
1. La fonction $T_x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1]$ et sa dérivée est $T_x'(y) = 1 - xy$ . Comme $x, y \in [0, 1]$ , on a $0 \leq xy \leq 1$ , d'où $0 \leq T_x'(y) \leq 1$ . Par l'inégalité des accroissements finis, $T_x$ est $1$ -lipschitzienne. De plus, $T_x$ est croissante sur $[0, 1]$ . On a $T_x(0) = 0$ et $T_x(1) = 1 - \frac{x}{2} \leq 1$ . Ainsi, $\boxed{ T_x([0, 1]) \subset [0, 1] }$ .
2. On remarque que $h_{n+1}(x) = T_x(h_n(x/2))$ . Par récurrence, puisque $h_0(x)=1 \in [0, 1]$ et $T_x$ préserve cet intervalle, on a $h_n(x) \in [0, 1]$ pour tout $n$ . Pour $n \geq 1$ , par la propriété lipschitzienne de $T_x$ : $|h_{n+1}(x) - h_n(x)| = |T_x(h_n(x/2)) - T_x(h_{n-1}(x/2))| \leq |h_n(x/2) - h_{n-1}(x/2)|$ Par itération, on obtient : $|h_{n+1}(x) - h_n(x)| \leq |h_1(x/2^n) - h_0(x/2^n)|$ Or $h_1(u) - h_0(u) = (1 - u/2) - 1 = -u/2$ . Ainsi : $|h_{n+1}(x) - h_n(x)| \leq \frac{x}{2^{n+1}} \leq \frac{1}{2^{n+1}}$ La série $\sum (h_{n+1} - h_n)$ converge normalement, donc uniformément sur $[0, 1]$ . La suite $\boxed{ (h_n) \text{ converge uniformément sur } [0, 1] }$ vers une fonction continue $h$ .
En passant à la limite dans la définition de $h_{n+1}$ , on a $h(x) = h(x/2) - (x/2)h(x/2)^2$ . En posant $f(x) = xh(x)$ , on vérifie que $f(2x) = 2x h(2x) = 2x(h(x) - xh(x)^2) = 2f(x) - 2f(x)^2$ . $f$ est continue comme produit de fonctions continues. $f(0)=0$ et $h(0)=1$ donc $f$ n'est pas constante.
Soit $f_0$ la solution construite sur $[0, 1]$ . Pour définir $f$ sur $[0, 2]$ , on pose : $\forall x \in ]1, 2], f(x) = 2f(x/2) - 2f(x/2)^2$ La continuité en $1$ est assurée par la relation de récurrence car $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2f_0(1/2) - 2f_0(1/2)^2 = f_0(1)$ . On itère ce procédé sur $[0, 2^n]$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $\boxed{ f_{n+1}(x) = 2f_n(x/2) - 2f_n(x/2)^2 \text{ pour } x \in [2^n, 2^{n+1}] }$

Oubli de la condition en x=0 et vérification de la continuité lors du prolongement.

Étude d'une solution par une suite de fonctions itérées construites à partir de l'équation.