Interversion limite-intégrale et fraction rationnelle

Résolution.

1. Convergence simple : Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$ pour tout $n$, donc $f_n(0) \to 0$. Pour $x \neq 0$, on a quand $n \to +\infty$ :
   $$f_n(x) \sim \frac{2^n x}{n 2^n x^2} = \frac{1}{nx}$$
   Comme $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{nx} = 0$, on en déduit que $f_n(x) \to 0$.
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge simplement vers la fonction nulle sur } \mathbb{R}.}$$

2. Calcul de $I_n$ : L'expression de $f_n$ est de la forme $\frac{1}{2n} \frac{u'(x)}{u(x)}$ avec $u(x) = 1 + n 2^n x^2$.
   $$I_n = \int_{0}^{1} \frac{2^n t}{1 + n 2^n t^2}   \mathrm{d}t = \frac{1}{2n} \left[ \ln(1 + n 2^n t^2) \right]_0^1$$
   $$\boxed{ I_n = \frac{\ln(1 + n 2^n)}{2n} }$$

3. Limite et convergence uniforme : Calculons la limite de $I_n$ :
   $$I_n = \frac{\ln\left(n 2^n \left(1 + \frac{1}{n 2^n}\right)\right)}{2n} = \frac{\ln n + n \ln 2 + \ln(1 + \varepsilon_n)}{2n}$$
   En divisant par $2n$ :
   $$I_n = \frac{\ln n}{2n} + \frac{\ln 2}{2} + o(1) \xrightarrow[n \to \infty]{} \frac{\ln 2}{2}$$
   Or, si la convergence était uniforme sur $[0, 1]$, la limite de $I_n$ devrait être $\int_0^1 0   \mathrm{d}t = 0$. Comme $\frac{\ln 2}{2} \neq 0$, \boxed{\text{la convergence n'est pas uniforme sur } [0, 1].}

4. Convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ : Étudions les variations de $f_n$ sur $\mathbb{R}^+$. $f_n$ est dérivable et :
   $$f_n'(x) = 2^n \frac{(1 + n 2^n x^2) - x(2 n 2^n x)}{(1 + n 2^n x^2)^2} = 2^n \frac{1 - n 2^n x^2}{(1 + n 2^n x^2)^2}$$
   La dérivée s'annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{n 2^n}}$. Comme $x_n \to 0$, pour $n$ assez grand, on a $x_n < a$. Sur $[a, +\infty[$, $f_n$ est alors décroissante, donc :
   $$\sup_{x \in [a, +\infty[} |f_n(x)| = f_n(a) = \frac{2^n a}{1 + n 2^n a^2}$$
   Or, nous avons vu que pour tout $x \neq 0$, $f_n(x) \to 0$. Donc $f_n(a) \to 0$.
   $$\boxed{\text{La suite } (f_n) \text{ converge uniformément vers 0 sur } [a, +\infty[.}$$