Série des carrés et fonction sinus

Soit $f$ la fonction définie sur $D = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}$ par :

f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+n)^2}

Existence et régularité Justifier que $f$ est bien définie sur $D$ , qu'elle est continue et $1$ -périodique.
Équation fonctionnelle Montrer que pour tout $x \in D$ , on a : $f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right) = 4 f(x)$
Lien avec la fonction sinus On pose $g(x) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\pi x)}$ $g (x) = \frac{π ^{2}}{s i n ^{2} ( π x )}$ pour $x \in D$ $x \in D$ .
1. Montrer que $g$ vérifie la même équation fonctionnelle que $f$ .
2. Prouver que $h = f - g$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}$ .
3. En déduire que $f = g$ sur $D$ .
Application En utilisant un développement limité de $f$ et $g$ au voisinage de $0$ , déterminer la valeur de : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$

1.

Pour l'équation fonctionnelle, séparer les indices pairs et impairs dans la somme définissant le membre de gauche.

2.

Pour le prolongement, utiliser $\frac{1}{\sin^2 u} = \frac{1}{u^2} + \frac{1}{3} + o(1)$ au voisinage de $0$ .

3.

Pour $\zeta(2)$ , identifier le terme constant du prolongement de $h$ en $0$ .

Idées clés

•

Sommabilité d'une famille.

•

Manipulation de sommes infinies (changement d'indice).

•

Développement limité de fonctions trigonométriques.

Résolution.

Pour $x \in D$ , $\frac{1}{(x+n)^2} \sim \frac{1}{n^2}$ quand $n \to \pm \infty$ . La série converge donc absolument. La convergence est normale sur tout segment de $D$ (même argument que l'exercice précédent), d'où la continuité. La périodicité découle du décalage d'indice $n' = n+1$ dans la somme infinie.
Calculons la somme : $f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(\frac{x}{2}+n)^2} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(\frac{x+1}{2}+n)^2}$ $= 4 \left( \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+2n)^2} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+2n+1)^2} \right)$ En regroupant les indices pairs ( $2n$ ) et impairs ( $2n+1$ ), on parcourt tout $\mathbb{Z}$ : $\boxed{f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right) = 4 \sum_{k \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x+k)^2} = 4 f(x)}$
1. $g\left(\frac{x}{2}\right) + g\left(\frac{x+1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{\sin^2(\frac{\pi x}{2})} + \frac{\pi^2}{\cos^2(\frac{\pi x}{2})} = \pi^2 \frac{\cos^2(\frac{\pi x}{2}) + \sin^2(\frac{\pi x}{2})}{\sin^2(\frac{\pi x}{2})\cos^2(\frac{\pi x}{2})} = \frac{\pi^2}{\frac{1}{4}\sin^2(\pi x)} = 4g(x)$ .
2. En $0$ : $g(x) = \frac{\pi^2}{(\pi x - \frac{(\pi x)^3}{6} + o(x^3))^2} = \frac{1}{x^2(1 - \frac{\pi^2 x^2}{6} + o(x^2))^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{\pi^2}{3} + o(1)$ . D'autre part, $f(x) = \frac{1}{x^2} + \sum_{n \in \mathbb{Z}^*} \frac{1}{(x+n)^2}$ . Le terme $\sum_{n \in \mathbb{Z}^*} \frac{1}{(x+n)^2}$ est continu en $0$ et vaut $2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ . Ainsi $h(x) = f(x)-g(x) \to 2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{\pi^2}{3}$ . $h$ est continue sur $\mathbb{R}$ .
3. $h$ vérifie $h(x) = \frac{1}{4}(h(x/2) + h((x+1)/2))$ . Si $M$ est le max de $|h|$ , alors $M \leq \frac{1}{4}(M+M) = \frac{1}{2}M$ , donc $M=0$ .
La limite de $h$ en $0$ est nulle, donc : $2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} - \frac{\pi^2}{3} = 0 \implies \boxed{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}}$

Facteur multiplicatif dans l'équation fonctionnelle.

Lien entre série de Riemann et fonctions trigonométriques.