Composition et croissances comparées

Résolution.

1. Convergence simple : Soit $x \in [-1, 1]$.

• Si $x = 0$, $f_n(0) = \sin(0) = 0 \to 0$.
• Si $x \neq 0$, posons $u_n = n x e^{-n x^2}$. On peut écrire :
  $$u_n = \frac{1}{x} \cdot (nx^2) e^{-nx^2}$$
  En posant $X = nx^2$, puisque $x \neq 0$, $X \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty$. Par croissances comparées, $\lim_{X \to +\infty} X e^{-X} = 0$. Donc $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. Par continuité de la fonction sinus :
  $$\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = \sin(0) = 0$$

La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[-1, 1]$.

2. Convergence uniforme : Considérons la suite de points $x_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$. Pour $n \geq 1$, $x_n \in [0, 1] \subset I$. Calculons la valeur de la fonction en ces points :

Cette suite de valeurs ne converge pas vers 0 (elle n'a même pas de limite, elle oscille). Plus simplement, on peut choisir $x_n$ tel que l'argument soit "maximal". L'argument est $g_n(x) = nxe^{-nx^2}$. Sa dérivée $g_n'(x) = n e^{-nx^2}(1 - 2nx^2)$ s'annule en $x_n = \frac{1}{\sqrt{2n}}$. En ce point : Cette quantité ne tend pas vers 0 quand $n \to +\infty$. Par conséquent :