Étude d'une série alternée de fonctions

Résolution.

1. Pour $x$ fixé, la suite $(u_n(x))_{n \geq 0} = (\frac{(-1)^n}{x+n})$ est alternée. Si $x \in ]0, +\infty[$, alors $x+n > 0$ pour tout $n$. La suite $(|u_n(x)|) = (\frac{1}{x+n})$ est décroissante et tend vers 0. D'après le CSSA, la série converge simplement sur $]0, +\infty[$. Si $x \leq 0$, la fonction n'est pas définie pour $x \in \{0, -1, -2, \dots\}$.
   $$\boxed{\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \{ -n, n \in \mathbb{N} \}}$$
   (Dans la suite, on restreint l'étude à $\mathbb{R}_+^*$).

2. Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$, la série vérifie le CSSA. Le reste $R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k(x)$ est majoré en valeur absolue par le premier terme négligé :
   $$|R_n(x)| \leq |u_{n+1}(x)| = \frac{1}{x+n+1} \leq \frac{1}{n+1}$$
   Cette majoration est indépendante de $x \in [a, +\infty[$, donc la série converge uniformément sur $[a, +\infty[$. Chaque $u_n$ étant continue, $S$ est continue sur tout $[a, +\infty[$, donc sur $]0, +\infty[$.

3. Les fonctions $u_n$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}_+^*$. $u_n^{(k)}(x) = \frac{(-1)^n (-1)^k k!}{(x+n)^{k+1}}$. Pour $k \geq 1$ fixé, la série des dérivées $\sum u_n^{(k)}(x)$ est aussi une série alternée vérifiant le CSSA. Son reste est majoré par $|R_{n,k}(x)| \leq \frac{k!}{(x+n+1)^{k+1}} \leq \frac{k!}{(n+1)^{k+1}}$. Il y a convergence uniforme sur $[a, +\infty[$ pour tout $a > 0$. Par théorème de dérivation des séries de fonctions :
   $$\boxed{S^{(k)}(x) = (-1)^k k! \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(x+n)^{k+1}}}$$

4. $S(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}$. La série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}$ converge uniformément sur $[0, 1]$ (par le CSSA, le reste est borné par $1/(n+1)$). Sa somme $T(x)$ est donc continue en 0. $S(x) = \frac{1}{x} + T(x)$ avec $T(x) \xrightarrow[x \to 0]{} T(0) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} = -\ln 2$.
   $$\boxed{S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x}}$$

5. Étude en $+\infty$ :
   1. $S(x) + S(x+1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{x+1+n}$. Dans la seconde somme, effectuons le changement d'indice $m = n+1$ : $S(x+1) = \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{x+m} = -\sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^m}{x+m}$. D'où $S(x) + S(x+1) = \frac{(-1)^0}{x+0} + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n} - \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^m}{x+m} = \frac{1}{x}$.
      $$\boxed{S(x) + S(x+1) = \frac{1}{x}}$$

   2. On remarque que $S'(x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(x+n)^2}$. Par le CSSA, le signe de la somme est celui de son premier terme $1/x^2 > 0$. Donc $S'(x) < 0$ et $S$ est strictement décroissante. De plus, $S(x) > 0$ (premier terme du CSSA). Ainsi, $S(x+1) \leq S(x)$. De la relation $S(x) + S(x+1) = 1/x$, on tire :
      $$2S(x+1) \leq S(x) + S(x+1) \leq 2S(x) \implies 2S(x+1) \leq \frac{1}{x} \leq 2S(x)$$
      En divisant par 2 et en utilisant $\frac{1}{x} \sim \frac{1}{x+1}$ :
      $$\boxed{S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{1}{2x}}$$