Étude d'une série avec symétrie inversion

Soit la fonction $S$ définie par la somme de série suivante :

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n}}{1+x^{2 n}}

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $S$ sur $\mathbb{R}_{+}$ .
Pour tout $x$ appartenant au domaine de définition (avec $x \neq 0$ ), établir une relation simple entre $S(x)$ et $S(1/x)$ .
Justifier la continuité de $S$ sur les intervalles $[0, 1[$ et $]1, +\infty[$ .
Étudier les variations de $S$ sur son domaine et dresser son tableau de variations complet, en incluant les limites aux bornes.

1.

Pour le domaine, comparer le terme général à une suite géométrique selon la position de $x$ par rapport à 1.

2.

Pour la relation entre $S(x)$ et $S(1/x)$ , factoriser par le terme de plus haut degré au dénominateur.

3.

Utiliser la convergence normale sur tout segment inclus dans le domaine de définition.

4.

Pour les variations, dériver terme à terme après avoir justifié le caractère $\mathcal{C}^1$ .

Idées clés

•

Convergence de série par comparaison (critère de d'Alembert ou équivalents).

•

Convergence normale pour la continuité.

•

Théorème de dérivation terme à terme pour la monotonie.

Résolution.

Posons $f_n(x) = \frac{x^n}{1+x^{2n}}$ pour $x \geq 0$ .
Si $x=0$ , $f_n(0)=0$ pour tout $n \geq 1$ , donc la série converge et $S(0)=0$ .
Si $0 < x < 1$ , on a $f_n(x) \sim x^n$ . Comme $\sum x^n$ converge (série géométrique de raison $<1$ ), $S(x)$ est définie.
Si $x = 1$ , $f_n(1) = \frac{1}{2}$ . La série $\sum \frac{1}{2}$ diverge grossièrement.
Si $x > 1$ , on a $f_n(x) \sim \frac{x^n}{x^{2n}} = \frac{1}{x^n}$ . Comme $\sum (1/x)^n$ converge (raison $<1$ ), $S(x)$ est définie.

$\boxed{ \mathcal{D}_S = [0, 1[ \cup ]1, +\infty[ }$
Soit $x \in \mathcal{D}_S \setminus \{0\}$ . On calcule : $S(1/x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(1/x)^n}{1+(1/x)^{2n}} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1/x^n}{(x^{2n}+1)/x^{2n}}$
En simplifiant par $x^{2n}$ , on obtient :
$S(1/x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1+x^{2n}}$

$\boxed{ \forall x \in \mathcal{D}_S \setminus \{0\}, S(1/x) = S(x) }$
Soit $a \in [0, 1[$ . Pour tout $x \in [0, a]$ , on a $0 \leq f_n(x) \leq a^n$ . La série $\sum a^n$ converge, donc la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement, et donc uniformément, sur tout segment $[0, a] \subset [0, 1[$ . Les fonctions $f_n$ étant continues, $S$ est continue sur $[0, 1[$ .
Par l'équation fonctionnelle $S(x) = S(1/x)$ , et par composition de fonctions continues ( $x \mapsto 1/x$ est continue sur $]1, +\infty[$ à valeurs dans $]0, 1[$ ), on en déduit que $S$ est continue sur $]1, +\infty[$ .
Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0, 1[$ . On calcule la dérivée : $f_n'(x) = \frac{n x^{n-1}(1+x^{2n}) - 2n x^{2n-1} x^n}{(1+x^{2n})^2} = \frac{n x^{n-1}(1-x^{2n})}{(1+x^{2n})^2}$
Pour $x \in [0, 1[$ , $1-x^{2n} > 0$ , donc $f_n'(x) \geq 0$ . Par sommation de la monotonie (ou dérivation terme à terme), $S$ est strictement croissante sur $[0, 1[$ .
En $0$ , $S(0)=0$ . En $1^-$ , pour $x \in [0, 1[$ , $f_n(x) \geq \frac{x^n}{2}$ . Ainsi $S(x) \geq \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} x^n = \frac{x}{2(1-x)}$ . Par comparaison, $\lim_{x \to 1^-} S(x) = +\infty$ .
Par symétrie, $S$ est strictement décroissante sur $]1, +\infty[$ , avec $\lim_{x \to 1^+} S(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} S(x) = 0$ .

Convergence non uniforme au voisinage des bornes du domaine.

L'utilisation de symétries pour simplifier l'étude d'une fonction somme.