Série de rationnelles et nombres harmoniques

Résolution.

1. Soit $f_n(x) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} = \frac{x}{n(n+x)}$. Pour $x > -1$ fixé, $f_n(x) \sim \frac{x}{n^2}$ quand $n \to +\infty$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc $S(x)$ est définie sur $I$.

   Pour la continuité, soit $[a, b] \subset I$. Pour $n > |a|$, on a :

   $$|f_n(x)| \leq \frac{\max(|a|, |b|)}{n(n+a)}$$
   Le terme de droite est le terme général d'une série numérique convergente. La série de fonctions converge normalement sur tout segment de $I$, d'où la continuité de $S$.

2. La fonction $x \mapsto f_n(x)$ est croissante sur $I$ car sa dérivée $f_n'(x) = \frac{1}{(n+x)^2}$ est strictement positive. Par somme de fonctions croissantes, $S$ est croissante sur $I$.

3. On calcule la différence :
   $$S(x+1) - S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x+1} \right) - \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} \right)$$

   Par linéarité de la somme (valide car les séries convergent) :

   $$S(x+1) - S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+x+1} \right)$$

   On reconnaît une série télescopique :

   $$\sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n+x} - \frac{1}{n+x+1} \right) = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{N+1+x} \xrightarrow[N \to +\infty]{} \frac{1}{x+1}$$
   $$\boxed{ S(x+1) - S(x) = \frac{1}{x+1} }$$

4. D'après la relation précédente, $S(x) = S(x+1) - \frac{1}{x+1}$. Lorsque $x \to -1^+$, $x+1 \to 0^+$, donc $S(x+1) \to S(0) = \sum 0 = 0$. Ainsi, le terme $-\frac{1}{x+1}$ prédomine.
   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to -1^+}{\sim} -\frac{1}{x+1} }$$

5. $S(0)=0$ et $S(k)-S(k-1) = \frac{1}{k}$ pour $k \geq 1$. Par sommation :
   $$S(n) = \sum_{k=1}^n (S(k) - S(k-1)) + S(0) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$$
   $$\boxed{ S(n) = H_n }$$

6. On sait que $H_n \sim \ln n$ quand $n \to +\infty$. Comme $S$ est croissante, pour tout $x > 0$ :
   $$S(\lfloor x \rfloor) \leq S(x) \leq S(\lfloor x \rfloor + 1)$$

   D'où $H_{\lfloor x \rfloor} \leq S(x) \leq H_{\lfloor x \rfloor + 1}$. Puisque $\ln(\lfloor x \rfloor) \sim \ln(x)$ et $\ln(\lfloor x \rfloor + 1) \sim \ln(x)$, on conclut :

   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \ln x }$$