Comportement asymptotique d'une série de fonctions

Résolution.

1. Soit $f_n(x) = \frac{1}{n+n^2 x}$. Pour $x > 0$, $f_n(x) \sim \frac{1}{xn^2}$. La série $\sum \frac{1}{n^2}$ converge, donc $S(x)$ est définie. Soit $a > 0$. Pour tout $x \geq a$, $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n^2 a}$. Il y a convergence normale sur $[a, +\infty[$, donc $S$ est continue sur $\mathbb{R}_{+}^*$.

2. $f_n$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_{+}^*$ pour tout $n$, donc $S$ est strictement décroissante.

3. On cherche $\lim_{x \to +\infty} x S(x) = \lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n+n^2 x}$. Posons $g_n(x) = \frac{x}{n+n^2 x} = \frac{1}{n/x + n^2}$. Pour tout $x > 0$, $g_n(x) \leq \frac{1}{n^2}$. La série $\sum g_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}_{+}^*$. On peut donc intervertir limite et somme :
   $$\lim_{x \to +\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} g_n(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{n/x + n^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$$
   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{\pi^2}{6x} }$$

4. La fonction $t \mapsto \frac{1}{t+xt^2}$ est décroissante sur $[1, +\infty[$. Par comparaison série-intégrale :
   $$\int_1^{+\infty} \frac{dt}{t+xt^2} \leq S(x) \leq f_1(x) + \int_1^{+\infty} \frac{dt}{t+xt^2}$$

   Calculons l'intégrale par décomposition en éléments simples :

   $$\frac{1}{t(1+xt)} = \frac{1}{t} - \frac{x}{1+xt}$$

   D'où :

   $$\int_1^{+\infty} \left( \frac{1}{t} - \frac{x}{1+xt} \right) dt = \left[ \ln\left( \frac{t}{1+xt} \right) \right]_1^{+\infty}$$
   $$= \lim_{t \to +\infty} \ln\left( \frac{1}{1/t+x} \right) - \ln\left( \frac{1}{1+x} \right) = \ln(1/x) + \ln(1+x)$$

   On a $\ln(1/x) + \ln(1+x) = -\ln x + \ln(1+x) \sim -\ln x$ quand $x \to 0$. Comme $f_1(x) = \frac{1}{1+x} \to 1$, il est négligeable devant $\ln x$.

   $$\boxed{ S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} -\ln x }$$