Équivalence de normes à poids

Soit $E = \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{R})$ . On appelle $E^{++}$ l'ensemble des fonctions de $E$ strictement positives. Pour toute fonction $\varphi \in E^{++}$ , on définit :

\|f\|_\varphi = \int_0^1 |f(t)| \varphi(t)   dt

Montrer que pour tout $\varphi \in E^{++}$ , $\| \cdot \|_\varphi$ définit une norme sur $E$ .
Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in E^{++}$ . Démontrer que les normes $\|\cdot\|_{\varphi_1}$ et $\|\cdot\|_{\varphi_2}$ sont équivalentes.
On considère maintenant $\varphi_1(t) = t$ $φ_{1} (t) = t$ et $\varphi_2(t) = t^2$ $φ_{2} (t) = t^{2}$ . Ces fonctions ne sont pas dans $E^{++}$ $E^{++}$ mais s'annulent seulement en 0.
1. Justifier que $\| \cdot \|_{\varphi_1}$ et $\| \cdot \|_{\varphi_2}$ sont encore des normes sur $E$ .
2. Sont-elles équivalentes ? On pourra tester la suite $f_n(t) = (1-t)^n$ .

1.

Pour la séparation de la norme, utiliser la continuité de $f$ et $\varphi$ .

2.

Utiliser le fait qu'une fonction continue sur un segment atteint ses bornes. Encadrer le rapport $\varphi_2/\varphi_1$ .

3.

Pour la non-équivalence, calculer explicitement les intégrales pour $f_n$ .

Idées clés

•

Propriété de l'intégrale d'une fonction continue positive.

•

Compacité de $[0,1]$ : une fonction continue y est bornée et atteint ses bornes.

Résolution.

Séparation de la norme : Si $\|f\|_\varphi = 0$ , alors $\int_0^1 |f(t)|\varphi(t) dt = 0$ . L'application $t \mapsto |f(t)|\varphi(t)$ est continue et positive sur $[0,1]$ . Son intégrale est nulle, donc la fonction est identiquement nulle : $\forall t \in [0,1], \ |f(t)|\varphi(t) = 0$ . Comme $\varphi$ est strictement positive, on en déduit $\forall t \in [0,1], \ f(t) = 0$ . Les autres propriétés (homogénéité, inégalité triangulaire) sont immédiates par linéarité et croissance de l'intégrale.
Équivalence pour $\varphi_1, \varphi_2 \in E^{++$ $φ_{1}, φ_{2} \in E^{++}$ :} L'application $h = \frac{\varphi_2}{\varphi_1}$ est continue sur le segment $[0,1]$ car $\varphi_1$ ne s'annule pas. Par le théorème des bornes atteintes, il existe $m, M > 0$ tels que : $\forall t \in [0,1], \ 0 < m \leq \frac{\varphi_2(t)}{\varphi_1(t)} \leq M$ En multipliant par $|f(t)|\varphi_1(t) \geq 0$ , on obtient : $m |f(t)|\varphi_1(t) \leq |f(t)|\varphi_2(t) \leq M |f(t)|\varphi_1(t)$ Par intégration sur $[0,1]$ : $\boxed{ m \|f\|_{\varphi_1} \leq \|f\|_{\varphi_2} \leq M \|f\|_{\varphi_1} }$
Cas où les poids s'annulent :
1. Si $\varphi$ ne s'annule qu'en un nombre fini de points, $|f|\varphi = 0$ implique $f=0$ sur $[0,1] \setminus \{ \text{zéros de } \varphi \}$ . Par continuité de $f$ , $f$ est nulle partout. Ce sont donc des normes.
2. Calculons les normes pour $f_n(t) = (1-t)^n$ : $\|f_n\|_{\varphi_1} = \int_0^1 t(1-t)^n dt = \int_0^1 (1-u)u^n du = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \sim \frac{1}{n^2}$ $\|f_n\|_{\varphi_2} = \int_0^1 t^2(1-t)^n dt = \int_0^1 (1-u)^2 u^n du = \frac{1}{n+1} - \frac{2}{n+2} + \frac{1}{n+3} = \frac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} \sim \frac{2}{n^3}$ Le rapport $\frac{\|f_n\|_{\varphi_1}}{\|f_n\|_{\varphi_2}}$ tend vers $+\infty$ . $\boxed{\text{Les normes ne sont pas équivalentes.}}$

L'équivalence nécessite que le poids ne s'annule pas.

Toutes les normes L1 à poids strictement positifs sont équivalentes sur C0([a,b]).