Norme associée aux moments d'une fonction

Soit $E = \mathcal{C}^0([0, 1], \mathbb{R})$ . Pour $f \in E$ , on pose :

N(f) = \sup_{n \in \mathbb{N}} \left| \int_0^1 f(t) t^n   dt \right|

Montrer que

N

définit une norme sur

E

.

1.

L'homogénéité et l'inégalité triangulaire sont simples. Le point difficile est la séparation.

2.

Si $N(f)=0$ , alors tous les moments de $f$ sont nuls. Montrer que l'intégrale de $f$ contre n'importe quel polynôme est nulle.

3.

Utiliser le théorème de densité de Weierstrass pour approcher $f$ par des polynômes.

•

Linéarité de l'intégrale.

•

Théorème d'approximation de Weierstrass : les polynômes sont denses dans $(\mathcal{C}^0([0,1]), \|\cdot\|_\infty)$ .

Résolution.

1. Homogénéité et inégalité triangulaire : La valeur absolue et le supremum respectent ces propriétés. C'est immédiat.

2. Séparation : Supposons $N(f) = 0$ . Alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $\int_0^1 f(t) t^n dt = 0$ .

Par linéarité de l'intégrale, pour tout polynôme $P(t) = \sum_{k=0}^d a_k t^k$ , on a :

\int_0^1 f(t) P(t)   dt = \sum_{k=0}^d a_k \int_0^1 f(t) t^k   dt = 0

D'après le théorème de Weierstrass, il existe une suite de polynômes $(P_m)_{m \in \mathbb{N}}$ convergeant uniformément vers $f$ sur $[0,1]$ .

Considérons l'intégrale :

\int_0^1 f(t)^2   dt = \int_0^1 f(t)(f(t) - P_m(t))   dt + \int_0^1 f(t) P_m(t)   dt

Le second terme est nul d'après ce qui précède. Pour le premier terme, on a l'estimation :

\left| \int_0^1 f(t)(f(t) - P_m(t))   dt \right| \leq \|f\|_\infty \|f - P_m\|_\infty \xrightarrow[m \to \infty]{} 0

Par passage à la limite, on en déduit :

\boxed{ \int_0^1 f(t)^2   dt = 0 }

Comme $f^2$ est continue et positive, ceci implique que $f^2 = 0$ , donc $f = 0$ .

\boxed{N \text{ est une norme sur } E.}

La séparation nécessite un argument de densité (Weierstrass).

Une fonction orthogonale à tous les monômes est nulle.