Différences finies et sommes de séries

Soit $E = \mathbb{R}[X]$ . Pour tout polynôme $P \in E$ , on définit l'opérateur de différence finie $\Delta$ par :

\Delta(P)(X) = P(X+1) - P(X)

On note

\Delta^0 = \text{Id}_E

et pour tout

k \in \mathbb{N}

,

\Delta^{k+1} = \Delta \circ \Delta^k

.

Pour $k \in \mathbb{N}$ $k \in N$ , on pose $e_k(X) = \frac{1}{k!} \prod_{j=0}^{k-1} (X-j)$ $e_{k} (X) = \frac{1}{k !} \prod_{j = 0}^{k - 1} (X - j)$ pour $k \ge 1$ $k \geq 1$ et $e_0(X) = 1$ $e_{0} (X) = 1$ .
1. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$ , $\Delta e_k = e_{k-1}$ .
2. Justifier que la famille $(e_0, e_1, \dots, e_p)$ est une base de $\mathbb{R}_p[X]$ .
3. Soit $P \in \mathbb{R}_p[X]$ . On écrit $P = \sum_{k=0}^p a_k e_k$ . Montrer que pour tout $k \in \{0, \dots, p\}$ , on a $a_k = \Delta^k P(0)$ .
1. Établir que pour tout $p \in \mathbb{N}$ , $\Delta^p P(X) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-1)^{p-k} P(X+k)$ .
2. En déduire l'expression de $a_k$ en fonction des valeurs $P(0), P(1), \dots, P(k)$ .
3. Calculer la valeur de $\Delta^p(X^p)$ .
On considère la série de terme général $\frac{P(n)}{n!}$ $\frac{P ( n )}{n !}$ où $P \in \mathbb{R}_p[X]$ $P \in R_{p} [X]$ .
1. Justifier la convergence de cette série.
2. Exprimer sa somme $S = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P(n)}{n!}$ en fonction de $e$ et des coefficients $a_k$ .
3. En déduire une expression de $S$ en fonction des valeurs $P(0), \dots, P(p)$ .

1.

Pour 1.(a), simplifier l'expression $e_k(X+1) - e_k(X)$ par factorisation des termes communs.

2.

Pour 1.(c), appliquer l'opérateur $\Delta^k$ à la décomposition de $P$ et évaluer en $0$ .

3.

Pour 2.(a), procéder par récurrence ou utiliser l'opérateur de translation $\tau(P)(X) = P(X+1)$ en remarquant que $\Delta = \tau - \text{Id}$ .

4.

Pour 2.(c), utiliser la décomposition de $X^p$ dans la base $(e_k)$ .

5.

Pour 3.(b), utiliser la linéarité et la relation $\frac{\binom{n}{k}}{n!} = \frac{1}{k!(n-k)!}$ pour $n \ge k$ .

Idées clés

•

Base de Hilbert (polynômes de Hilbert) et réduction de degré par $\Delta$ .

•

Lien entre $\Delta$ et les coefficients d'interpolation.

•

Identité combinatoire : $\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{(n-k)!} = e$ .

Résolution.

1. Soit $k \ge 1$ . On a : $\Delta e_k(X) = \frac{1}{k!} \left[ \prod_{j=0}^{k-1} (X+1-j) - \prod_{j=0}^{k-1} (X-j) \right]$ Le premier produit s'écrit $(X+1)X(X-1)\dots(X-k+2)$ et le second $X(X-1)\dots(X-k+1)$ . En factorisant par $X(X-1)\dots(X-k+2)$ , il vient : $\Delta e_k(X) = \frac{X(X-1)\dots(X-k+2)}{k!} [ (X+1) - (X-k+1) ]$ $\Delta e_k(X) = \frac{X(X-1)\dots(X-k+2)}{k!} \cdot k = \frac{X(X-1)\dots(X-k+2)}{(k-1)!} = e_{k-1}(X)$ $\boxed{\Delta e_k = e_{k-1}}$
2. La famille $(e_k)_{0 \le k \le p}$ est une famille de polynômes de degrés étagés ( $\deg e_k = k$ ). Elle forme donc une base de $\mathbb{R}_p[X]$ .
3. En appliquant $\Delta$ à $P = \sum_{j=0}^p a_j e_j$ , par linéarité et d'après (a) : $\Delta^k P = \sum_{j=k}^p a_j e_{j-k}$ En évaluant en $0$ , on remarque que pour $j > k$ , $e_{j-k}(0) = 0$ car le produit contient un facteur $(0-0)$ . Il reste donc $\Delta^k P(0) = a_k e_0(0) = a_k$ . $\boxed{a_k = \Delta^k P(0)}$
1. Notons $\tau$ l'opérateur défini par $\tau(P)(X) = P(X+1)$ . On a $\Delta = \tau - \text{Id}$ . Comme $\tau$ et $\text{Id}$ commutent, la formule du binôme de Newton donne : $\Delta^p = (\tau - \text{Id})^p = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} \tau^k (-1)^{p-k}$ En appliquant à $P$ au point $X$ : $\boxed{\Delta^p P(X) = \sum_{k=0}^p \binom{p}{k} (-1)^{p-k} P(X+k)}$
2. D'après 1.(c) et 2.(a) au point $0$ : $\boxed{a_k = \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^{k-j} P(j)}$
3. Comme $\deg X^p = p$ , on écrit $X^p = \sum_{k=0}^p \lambda_k e_k$ . Le terme de plus haut degré de $e_p$ est $\frac{X^p}{p!}$ . Par identification des coefficients dominants, $\lambda_p = p!$ . En appliquant $\Delta^p$ , seul le terme en $e_p$ subsiste d'après la propriété $\Delta e_k = e_{k-1}$ : $\Delta^p(X^p) = \lambda_p \Delta^p(e_p) = p! e_0 = p!$ . $\boxed{\Delta^p(X^p) = p!}$
1. Pour tout $n$ assez grand, $\frac{P(n)}{n!} = O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ par croissance comparée, donc la série converge absolument.
2. En utilisant $P(n) = \sum_{k=0}^p a_k e_k(n)$ : $\sum_{n=0}^\infty \frac{P(n)}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^p a_k \frac{e_k(n)}{n!}$ On peut intervertir les sommes (somme finie). Pour $n < k$ , $e_k(n) = 0$ . $S = \sum_{k=0}^p \frac{a_k}{k!} \sum_{n=k}^\infty \frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{n!} = \sum_{k=0}^p \frac{a_k}{k!} \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{(n-k)!}$ En posant $m = n-k$ , la somme interne vaut $\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!} = e$ . $\boxed{S = e \sum_{k=0}^p \frac{a_k}{k!}}$
3. En remplaçant $a_k$ par son expression trouvée en 2.(b) : $S = e \sum_{k=0}^p \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^k \binom{k}{j} (-1)^{k-j} P(j)$ En intervertissant les sommes (en posant $l=j$ et en réorganisant sur $k$ ) : $\boxed{S = e \sum_{l=0}^p \frac{P(l)}{l!} \left( \sum_{k=l}^p \frac{(-1)^{k-l}}{(k-l)!} \right)}$

Ne pas oublier que les polynômes de Hilbert s'annulent en les entiers naturels inférieurs à leur degré.

L'opérateur delta réduit le degré des polynômes et possède une base naturelle adaptée : les polynômes de Hilbert.