Règle de Raabe-Duhamel et applications

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de réels strictement positifs. On suppose qu'il existe un réel $\alpha$ tel que :

\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 - \frac{\alpha}{n} + v_n

où

\sum v_n

est une série absolument convergente.

Étude théorique :
1. En étudiant la série de terme général $w_n = \ln((n+1)^\alpha u_{n+1}) - \ln(n^\alpha u_n)$ , démontrer qu'il existe une constante $\lambda > 0$ telle que : $u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\lambda}{n^\alpha}$
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que la série $\sum u_n$ converge.
Application aux coefficients binomiaux : Soit $a \in \mathbb{R}$ . On considère la suite de terme général $u_n = \frac{a(a-1)\cdots(a-n+1)}{n!}$ . Préciser, suivant les valeurs de $a$ , la nature de la série $\sum u_n$ .
Application à une étude d'intégrale : Pour $x \in ]-1, 0[$ $x \in] - 1, 0 [$ , on définit $I(x) = \int_0^1 \frac{1 - (1-t)^x}{t} dt$ $I (x) = \int_{0}^{1} \frac{1 - ( 1 - t ) ^{x}}{t} d t$ .
1. Justifier que $I(x)$ est bien définie.
2. Montrer que $I(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot n!} \prod_{k=0}^{n-1} (x-k)$ .

1.

Pour le 1.(a), effectuer un développement limité du logarithme de $u_{n+1}/u_n$ en utilisant l'hypothèse sur $\sum v_n$ .

2.

Pour le 2, distinguer les cas $a > 0$ , $a \le -1$ et $-1 < a < 0$ . Utiliser le résultat du 1. en travaillant sur $|u_n|$ .

3.

Pour le 3.(b), utiliser le développement en série entière de $(1-t)^x$ et justifier l'intégration terme à terme à l'aide de la règle de Raabe-Duhamel prouvée en question 1.

Idées clés

•

Critère de comparaison par équivalent pour les séries à termes positifs.

•

Lien suite-série via le logarithme pour transformer un produit en somme.

•

Théorème d'intégration terme à terme pour les séries de fonctions.

Résolution.

Étude théorique :
1. Calculons $w_n = \alpha \ln(1 + \frac{1}{n}) + \ln(\frac{u_{n+1}}{u_n})$ . Par développement limité : $\alpha \ln(1 + \frac{1}{n}) = \frac{\alpha}{n} - \frac{\alpha}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$ D'autre part : $\ln\left(1 - \frac{\alpha}{n} + v_n\right) = -\frac{\alpha}{n} + v_n - \frac{\alpha^2}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ Ainsi, $w_n = v_n + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ . Comme $\sum v_n$ et $\sum \frac{1}{n^2}$ convergent, la série $\sum w_n$ converge. Notons $L$ sa somme. La suite des sommes partielles $\sum_{k=1}^{n-1} w_k = \ln(n^\alpha u_n) - \ln(u_1)$ converge vers $L$ . Par continuité de l'exponentielle, $n^\alpha u_n \to u_1 e^L = \lambda > 0$ . $\boxed{ u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{\lambda}{n^\alpha} }$
2. Par comparaison avec les séries de Riemann, $\sum u_n$ converge si et seulement si $\alpha > 1$ .
Application aux coefficients binomiaux : Le rapport des valeurs absolues est : $\frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \frac{|a-n|}{n+1} = \frac{n-a}{n+1} = \left(1 - \frac{a}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-1} = 1 - \frac{a+1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ D'après le 1.(a), $|u_n| \sim \frac{\lambda}{n^{a+1}}$ . - Si $a > 0$ , alors $a+1 > 1$ , la série est absolument convergente. - Si $a \le -1$ , alors $u_n$ ne tend pas vers 0 (car $a+1 \le 0$ ), la série diverge grossièrement. - Si $-1 < a \le 0$ , c'est une série alternée (à partir d'un certain rang) dont le terme général tend vers 0, elle converge par le critère des séries alternées.
Étude de l'intégrale :
1. En $t=0$ , $1-(1-t)^x = 1-(1-xt+o(t)) = xt+o(t)$ , donc l'intégrande est prolongeable par continuité. En $t=1$ , l'intégrande est équivalent à $-(1-t)^x$ . Comme $x > -1$ , l'intégrale converge.
2. Pour $t \in ]0, 1[$ , $(1-t)^x = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x(x-1)\cdots(x-n+1)}{n!} (-t)^n$ . D'où $\frac{1-(1-t)^x}{t} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1}(x-k)}{n!} t^{n-1} = \sum f_n(t)$ . Vérifions l'intégrabilité de la série : $\int_0^1 |f_n(t)| dt = \frac{1}{n \cdot n!} |\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)| = v_n$ . Le ratio $v_{n+1}/v_n = \frac{n|x-n|}{(n+1)^2} = 1 - \frac{x+2}{n} + O(1/n^2)$ . Comme $x > -1$ , $x+2 > 1$ , la série $\sum v_n$ converge. L'intégration terme à terme est licite. $\boxed{ I(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n \cdot n!} \prod_{k=0}^{n-1} (x-k) }$

Ne pas appliquer la règle sans vérifier la positivité ou l'alternance des termes.

Si u_{n+1}/u_n = 1 - a/n + O(1/n^2), alors u_n ~ C/n^a.