Convergence d'une suite définie par une somme

Soit $a > 0$ et $\alpha > 0$ . On définit une suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ par $a_1 = a$ et la relation de récurrence :

a_{n+1} = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \sum_{p=1}^n a_p

On pose $S_n = \sum_{p=1}^n a_p$ . Exprimer $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$ et en déduire la nature de la série $\sum ( \ln |S_{n+1}| - \ln |S_n| )$ .
Montrer que la série $\sum a_n$ converge pour tout $\alpha > 0$ .
Déterminer la valeur de la somme $\sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ dans le cas où $\alpha \le \frac{1}{2}$ .

1.

Remarquer que $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ .

2.

Étudier la convergence de la suite $(S_n)$ en utilisant un développement limité du logarithme de $S_{n+1}/S_n$ .

3.

Si la série des différences des logarithmes diverge vers $-\infty$ , quelle est la limite de $S_n$ ?

•

Relation entre somme partielle et terme général : $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ .

•

Nature d'une suite via la série des différences des logarithmes.

•

Critère des séries alternées et séries de Riemann.

Résolution.

Par définition, $a_{n+1} = S_{n+1} - S_n$ . L'énoncé donne : $S_{n+1} - S_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} S_n \implies S_{n+1} = S_n \left( 1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \right)$ Comme $S_1 = a_1 = a > 0$ , tous les $S_n$ sont strictement positifs. On peut écrire : $\ln(S_{n+1}) - \ln(S_n) = \ln\left( 1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \right)$ Effectuons un développement limité à l'ordre 2 : $\ln\left( 1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \right) = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right)$ La série $\sum \frac{(-1)^n}{n^\alpha}$ converge (série alternée). La série $\sum (\ln S_{n+1} - \ln S_n)$ converge si et seulement si $\sum \frac{1}{n^{2\alpha}}$ converge, c'est-à-dire si et seulement si $2\alpha > 1$ .
La série $\sum a_n$ converge si et seulement si la suite $(S_n)$ possède une limite finie. - Si $\alpha > 1/2$ , la série des $\ln(S_{n+1}) - \ln(S_n)$ converge, donc $\ln(S_n)$ converge vers une limite réelle $L$ , d'où $S_n \to e^L > 0$ . - Si $\alpha \le 1/2$ , la série $\sum \ln(S_{n+1}/S_n)$ diverge. Comme le terme prépondérant est $-1/(2n^{2\alpha})$ , la somme partielle tend vers $-\infty$ . Dans les deux cas, $S_n$ admet une limite (éventuellement nulle), donc $\sum a_n$ converge.
Si $\alpha \le 1/2$ , nous avons vu que $\ln(S_n) \to -\infty$ . Par conséquent : $\lim_{n \to +\infty} S_n = 0$ La somme de la série est donc : $\boxed{ \sum_{p=1}^{+\infty} a_p = 0 }$

Oublier le terme d'ordre 2 dans le DL du logarithme qui change la convergence de la suite.

L'étude d'un produit se ramène à l'étude d'une série via le logarithme.