Comportement asymptotique de puissances de cosinus

Résolution.

1. Écrivons $a_n$ sous forme exponentielle :
   $$\ln(a_n) = n \ln\left( \cos \frac{1}{n^\alpha} \right)$$
   Utilisons les développements limités en $1/n$ :
   $$\cos \frac{1}{n^\alpha} = 1 - \frac{1}{2n^{2\alpha}} + \frac{1}{24n^{4\alpha}} + o\left(\frac{1}{n^{4\alpha}}\right)$$
   $$\ln(a_n) = n \left[ -\frac{1}{2n^{2\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{4\alpha}}\right) \right] = -\frac{1}{2n^{2\alpha-1}} + O\left(\frac{1}{n^{4\alpha-1}}\right)$$
   Discussion sur la limite : - Si $2\alpha - 1 > 0$ ($\alpha > 1/2$), alors $\ln a_n \to 0$, donc $\boxed{l = 1}$. - Si $2\alpha - 1 = 0$ ($\alpha = 1/2$), alors $\ln a_n \to -1/2$, donc $\boxed{l = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}}$. - Si $2\alpha - 1 < 0$ ($\alpha < 1/2$), alors $\ln a_n \to -\infty$, donc $\boxed{l = 0}$.

2. Nature de la série selon les cas : Cas 1 : $\alpha > 1/2$ ($l=1$).
   $$a_n = \exp\left( -\frac{1}{2n^{2\alpha-1}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha-1}}\right) \right) = 1 - \frac{1}{2n^{2\alpha-1}} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha-1}}\right)$$
   On a $a_n - 1 \sim -\frac{1}{2n^{2\alpha-1}}$. La série converge ssi $2\alpha - 1 > 1$, soit $\boxed{\alpha > 1}$. Cas 2 : $\alpha = 1/2$ ($l=1/\sqrt{e$).} En poussant le DL de $\ln a_n$ :
   $$\ln a_n = -\frac{1}{2} + \frac{1}{24n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$$
   $$a_n = e^{-1/2} e^{\frac{1}{24n} + o(1/n)} = \frac{1}{\sqrt{e}} \left( 1 + \frac{1}{24n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)$$
   On a $a_n - l \sim \frac{1}{24\sqrt{e}n}$, donc la série \boxed{\text{diverge}}. Cas 3 : $\alpha < 1/2$ ($l=0$). Ici $\ln a_n \sim - \frac{1}{2n^{2\alpha-1}}$. Comme $2\alpha - 1 < 0$, posons $\beta = 1-2\alpha > 0$. $\ln a_n \sim - \frac{n^\beta}{2}$. Alors $n^2 a_n = \exp( 2 \ln n - \frac{n^\beta}{2} ) \to 0$. Par comparaison avec une série de Riemann, la série \boxed{\text{converge}}.