Étude de séries trigonométriques et nombre d'or

On définit le nombre d'or $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et on considère les séries de termes généraux :

u_n = \frac{1}{n+1} \sin \left( \frac{\pi}{3} \alpha^n \right)   \text{et}   v_n = \frac{1}{n+1} \cos \left( \frac{\pi}{3} \alpha^n \right)

Soit $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$ . Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $x_n = \alpha^n + \beta^n$ est un entier.
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ .
Déterminer la nature de la série $\sum v_n$ .

1.

Utiliser le fait que $\alpha$ et $\beta$ sont racines de $X^2 - X - 1 = 0$ pour établir une récurrence linéaire sur $x_n$ .

2.

Écrire $\alpha^n = x_n - \beta^n$ et effectuer un développement limité des fonctions trigonométriques en exploitant $|\beta| < 1$ .

3.

Étudier la périodicité de la suite $(x_n \pmod 6)$ pour analyser la convergence de $\sum \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n}}{n+1}$ .

Idées clés

•

Suite de Lucas et périodicité modulo $m$ .

•

Transformation d'une série trigonométrique à l'aide d'un entier proche.

•

Critère de convergence des séries de type "Dirichlet" avec numérateur périodique.

1. Nature de $x_n$ .

Les nombres $\alpha$ et $\beta$ sont les racines distinctes du polynôme $P(X) = X^2 - X - 1$ . Par propriété des suites récurrentes linéaires, la suite $x_n = \alpha^n + \beta^n$ vérifie :

x_{n+2} = x_{n+1} + x_n

Comme $x_0 = \alpha^0 + \beta^0 = 2 \in \mathbb{Z}$ et $x_1 = \alpha + \beta = 1 \in \mathbb{Z}$ , une récurrence immédiate montre que :

\boxed{\forall n \in \mathbb{N},   x_n \in \mathbb{Z}}

2. Analyse de l'exponentielle complexe associée.

Posons $w_n = \frac{1}{n+1} \exp\left( i \frac{\pi}{3} \alpha^n \right)$ . En utilisant $\alpha^n = x_n - \beta^n$ :

w_n = \frac{1}{n+1} \exp\left( i \frac{\pi}{3} x_n \right) \exp\left( -i \frac{\pi}{3} \beta^n \right)

Puisque $|\beta| = \left| \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right| \approx 0,618 < 1$ , on a $\beta^n \to 0$ . Par développement limité de l'exponentielle :

w_n = \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n}}{n+1} \left( 1 - i \frac{\pi}{3} \beta^n + O(\beta^{2n}) \right)

Ce qui se réécrit :

w_n = \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n}}{n+1} - i \frac{\pi}{3} \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n} \beta^n}{n+1} + O\left( \frac{\beta^{2n}}{n+1} \right)

Les deux derniers termes sont les termes généraux de séries absolument convergentes car dominés par une série géométrique de raison $|\beta| < 1$ . La nature de $\sum w_n$ est donc la même que celle de $\sum \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n}}{n+1}$ .

3. Périodicité et conclusion.

La suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est définie par $x_{n+2} \equiv x_{n+1} + x_n \pmod 6$ . Comme il n'y a qu'un nombre fini de couples possibles dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ , la suite $(x_n \pmod 6)$ est périodique. Un calcul direct donne les premières valeurs modulo 6 : $2, 1, 3, 4, 1, 5, 0, 5, 5, 4, 3, 1, 4, 5, 3, 2, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5 \dots$ (période de 24).

Soit $S = \sum_{k=0}^{23} e^{i \frac{\pi}{3} x_k}$ la somme sur une période. La série $\sum \frac{e^{i \frac{\pi}{3} x_n}}{n+1}$ converge si et seulement si $S=0$ (via une transformation d'Abel ou étude par paquets). Si $S \neq 0$ , la série diverge comme $\frac{S}{24} \sum \frac{1}{k}$ .

L'étude numérique des parties réelles et imaginaires sur la période montre que : - La somme des sinus sur une période est nulle : $\text{Im}(S) = 0$ . - La somme des cosinus sur une période est non nulle : $\text{Re}(S) \neq 0$ .

On en conclut :

\boxed{\sum u_n \text{ converge et } \sum v_n \text{ diverge}}

Utiliser le critère des séries alternées à tort.

Une série dont le terme général est (périodique/n) converge ssi la somme sur une période est nulle.