Comportement de n*u_n pour une série convergente

Résolution.

1. Supposons que la série $\sum u_n$ converge. Soit $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$ sa somme partielle.

   Puisque la suite $(u_n)$ est décroissante, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on peut minorer la somme suivante :

   $$\sum_{k=n+1}^{2n} u_k \geq \sum_{k=n+1}^{2n} u_{2n} = n u_{2n}$$

   Or, $\sum_{k=n+1}^{2n} u_k = S_{2n} - S_n$. Comme la série converge, la suite $(S_n)$ converge vers une limite finie $S$. Par passage à la limite :

   $$\lim_{n \to +\infty} (S_{2n} - S_n) = S - S = 0$$

   On en déduit par encadrement que $\lim_{n \to +\infty} n u_{2n} = 0$, ce qui équivaut à :

   $$\lim_{n \to +\infty} 2n u_{2n} = 0$$

   Pour les termes d'indice impair, on utilise la décroissance : $0 \leq (2n+1) u_{2n+1} \leq (2n+1) u_{2n}$. Le terme de droite est équivalent à $2n u_{2n}$, qui tend vers 0.

   Par le théorème des gendarmes, on conclut :

   $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} n u_n = 0}$$

2. La réciproque est fausse. Considérons $u_n = \frac{1}{n \ln(n)}$ pour $n \geq 2$. La suite $(u_n)$ est bien positive et décroissante vers 0. On a $n u_n = \frac{1}{\ln(n)}$, qui tend bien vers 0 quand $n \to +\infty$.

   Cependant, la série $\sum u_n$ diverge (série de Bertrand d'exposants $\alpha=1, \beta=1$). On peut le voir par comparaison série-intégrale :

   $$\int_2^X \frac{dt}{t \ln(t)} = \left[ \ln(\ln(t)) \right]_2^X = \ln(\ln(X)) - \ln(\ln(2)) \xrightarrow[X \to +\infty]{} +\infty$$