Identités du Sophomore's Dream

Résolution.

1. Étude de l'intégrabilité. Les fonctions $f : x \mapsto x^x = e^{x \ln x}$ et $g : x \mapsto x^{-x} = e^{-x \ln x}$ sont définies et continues sur $]0, 1]$. Par croissance comparée, $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$, donc :
   $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = e^0 = 1   \text{et}   \lim_{x \to 0^+} g(x) = e^0 = 1$$
   Les fonctions $f$ et $g$ se prolongent par continuité en 0. Elles sont donc intégrables sur le segment $[0, 1]$.
2. Calcul de l'intégrale de référence.
   1. Soit $(n, p) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$. On réalise une intégration par parties pour $K_{n,p}$ : Posons $u(x) = (\ln x)^p$ et $v'(x) = x^n$. On a $u'(x) = \frac{p (\ln x)^{p-1}}{x}$ et $v(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.
      $$K_{n,p} = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} (\ln x)^p \right]_0^1 - \frac{p}{n+1} \int_0^1 x^{n+1} \frac{(\ln x)^{p-1}}{x}   \mathrm{d}x$$
      Le terme entre crochets est nul en 1 (car $p \ge 1$) et en 0 par croissance comparée ($n+1 > 0$). On obtient ainsi la relation :
      $$\boxed{ K_{n,p} = -\frac{p}{n+1} K_{n,p-1} }$$

   2. On calcule $K_{n,0} = \int_0^1 x^n   \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}$. Par une récurrence immédiate, ou en itérant la relation précédente $p$ fois :
      $$K_{n,p} = \left( \frac{-1}{n+1} \right)^p p! K_{n,0} = \frac{(-1)^p p!}{(n+1)^{p+1}}$$
      $$\boxed{ \int_0^1 x^n (\ln x)^p   \mathrm{d}x = \frac{(-1)^p p!}{(n+1)^{p+1}} }$$

3. Développement en série et intégration terme à terme. Pour tout $x \in ]0, 1]$, on a $x^x = \exp(x \ln x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x \ln x)^n}{n!}$. Posons $u_n(x) = \frac{(x \ln x)^n}{n!}$. Les fonctions $u_n$ sont continues sur $]0, 1]$. Sur $]0, 1]$, la fonction $h(x) = x \ln x$ est bornée. Son étude montre qu'elle atteint son minimum en $1/e$ avec $h(1/e) = -1/e$. Ainsi, $|x \ln x| \le 1/e$ pour tout $x \in ]0, 1]$. On en déduit : $\sup_{x \in ]0, 1]} |u_n(x)| \le \frac{(1/e)^n}{n!}$. Comme la série $\sum \frac{(1/e)^n}{n!}$ converge (série exponentielle), la série de fonctions $\sum u_n$ converge normalement, donc uniformément sur $]0, 1]$. On peut donc intervertir l'intégrale et la somme :
   $$J = \int_0^1 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(x \ln x)^n}{n!}   \mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \int_0^1 x^n (\ln x)^n   \mathrm{d}x$$
   En utilisant le résultat de la question 2 avec $p=n$ :
   $$J = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} \frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}$$
   Par décalage d'indice $k = n+1$ :
   $$\boxed{ J = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^k} = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{k^k} }$$
   Le raisonnement est identique pour $I$ en développant $x^{-x} = \exp(-x \ln x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (x \ln x)^n}{n!}$ :
   $$I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \frac{(-1)^n n!}{(n+1)^{n+1}} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(n+1)^{n+1}}$$
   $$\boxed{ I = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^k} }$$

4. Approximation numérique.
   1. La série $J = \sum_{n=1}^{+\infty} a_n$ avec $a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n^n}$ vérifie le critère spécial des séries alternées. En effet, $(|a_n|)_{n \ge 1} = (n^{-n})_{n \ge 1}$ est une suite décroissante qui tend vers 0. D'après le théorème, le reste $R_N$ est majoré par la valeur absolue du premier terme négligé :
      $$|J - \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n+1}}{n^n}| \le \frac{1}{(N+1)^{N+1}}$$
      Pour une précision à $10^{-k}$, il suffit de trouver $N$ tel que $(N+1)^{N+1} \ge 10^k$.

   2. Pour $I$, le reste est $R_N = \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^n}$. Pour tout $n \ge N+1$, on a $n^n \ge n^{N+1}$. Cependant, pour obtenir la majoration demandée, remarquons que pour $n \ge N$ : $\frac{1}{n^n} \le \frac{1}{N^n}$. Ainsi, $R_N \le \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{N^n} = \frac{1}{N^{N+1}} \sum_{j=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{N}\right)^j$. C'est une série géométrique de raison $1/N < 1$ (pour $N \ge 2$) :
      $$R_N \le \frac{1}{N^{N+1}} \frac{1}{1 - 1/N} = \frac{1}{N^{N+1}} \frac{N}{N-1} = \frac{1}{N^N (N-1)}$$
      On a même une majoration légèrement plus fine comme suggérée par l'énoncé source en commençant la majoration dès le rang $n$ par $n^{-k} \le N^{-k}$ pour $k \ge n$ :
      $$\boxed{ R_N \le \frac{1}{N^{N-1}(N-1)} }$$