Développement limité et logarithmes

Déterminer, suivant les valeurs du paramètre $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}^-$ , la nature de la série de terme général :

u_n = \ln \left( \frac{\sqrt{n} + (-1)^n}{\sqrt{n+a}} \right)

1.

Décomposer le logarithme en deux termes.

2.

Effectuer un développement limité de chaque terme à l'ordre $\frac{1}{n}$ .

3.

Identifier les séries convergentes et la série harmonique résiduelle.

•

Développement limité du logarithme $\ln(1+x)$ .

•

Séparation des termes de nature différente (alternés vs positifs).

Résolution.

Réécrivons le terme général :

u_n = \ln \left( \frac{\sqrt{n}(1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}})}{\sqrt{n}\sqrt{1 + \frac{a}{n}}} \right) = \ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + \frac{a}{n} \right)

Effectuons les développements limités au voisinage de l'infini :

\ln \left( 1 + \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2} \left( \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} \right)^2 + O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1}{2n} + O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)

Et pour le second terme :

-\frac{1}{2} \ln \left( 1 + \frac{a}{n} \right) = -\frac{a}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right)

En sommant, on obtient :

\boxed{u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} - \frac{1+a}{2n} + O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)}

Analysons la nature de chaque terme :

$\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ converge d'après le critère des séries alternées.
$\sum O\left( \frac{1}{n^{3/2}} \right)$ converge absolument (série de Riemann).
La série $\sum - \frac{1+a}{2n}$ est une série harmonique. Elle converge si et seulement si son coefficient est nul.

Le coefficient est nul si et seulement si $1+a = 0$ , soit $a = -1$ .

Conclusion :

\boxed{\sum u_n \text{ converge si et seulement si } a = -1}

Utiliser l'équivalent pour une série de signe non constant.

L'équivalent ne suffit pas pour les séries semi-convergentes.