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Semi-convergence et séries alternées

CSSASemi-convergenceDéveloppement asymptotiqueCritère Spécial des Séries AlternéesEclatement de terme général

Étudier la nature des séries de terme général unu_n suivantes :

  1. un=(−1)nnα+(−1)nu_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha + (-1)^n} pour α>0\alpha > 0.
  2. un=ln⁡(1+(−1)nnαln⁡n)u_n = \ln\left(1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha \ln n}\right) pour α>0\alpha > 0.
  3. un=1!−2!+3!−⋯+(−1)n−1n!(n+1)!u_n = \frac{1! - 2! + 3! - \dots + (-1)^{n-1} n!}{(n+1)!}
  4. un=(−1)nn−th nu_n = (-1)^n n^{-\text{th } n}

1.

Pour les questions 1 et 2, utiliser un développement asymptotique pour isoler le terme alterné et un reste de signe constant.

2.

Pour la question 3, isoler les deux derniers termes de la somme au numérateur et majorer le reste.

3.

Pour la question 4, vérifier si la suite (n−th n)(n^{-\text{th } n}) est décroissante vers 0 pour appliquer le CSSA.

Idées clés

•

Critère spécial des séries alternées (CSSA).

•

Décomposition un=vn+wnu_n = v_n + w_n où ∑vn\sum v_n converge par CSSA et ∑wn\sum w_n est une série à terme positif (Riemann).

Résolution.

  1. Effectuons un développement asymptotique :
    un=(−1)nnα(1+(−1)nnα)=(−1)nnα(1−(−1)nnα+O(1n2α))u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha (1 + \frac{(-1)^n}{n^\alpha})} = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} \left( 1 - \frac{(-1)^n}{n^\alpha} + O\left(\frac{1}{n^{2\alpha}}\right) \right)
    un=(−1)nnα−1n2α+O(1n3α)u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha} - \frac{1}{n^{2\alpha}} + O\left(\frac{1}{n^{3\alpha}}\right)
    Le terme (−1)nnα\frac{(-1)^n}{n^\alpha} est le terme général d'une série convergente (CSSA). La série converge donc si et seulement si ∑1n2α\sum \frac{1}{n^{2\alpha}} converge, c'est-à-dire 2α>12\alpha > 1.
    Convergence ssi α>1/2\boxed{ \text{Convergence ssi } \alpha > 1/2 }

  2. De même, un=(−1)nnαln⁡n−12n2αln⁡2n+o(1n2αln⁡2n)u_n = \frac{(-1)^n}{n^\alpha \ln n} - \frac{1}{2n^{2\alpha} \ln^2 n} + o\left(\frac{1}{n^{2\alpha} \ln^2 n}\right). Le premier terme converge par CSSA. Le second terme est le terme général d'une série de Bertrand qui converge ssi 2α>12\alpha > 1 ou (2α=12\alpha=1 et 2>12>1).
    Convergence ssi α≥1/2\boxed{ \text{Convergence ssi } \alpha \ge 1/2 }

  3. Notons Sn=∑k=1n(−1)k−1k!S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} k!. Alors un=Sn(n+1)!u_n = \frac{S_n}{(n+1)!}. On remarque que Sn=(−1)n−1n!+(−1)n−2(n−1)!+Sn−2S_n = (-1)^{n-1} n! + (-1)^{n-2} (n-1)! + S_{n-2}. D'où un=(−1)n−1n!(n+1)!+(−1)n−2(n−1)!(n+1)!+Sn−2(n+1)!u_n = \frac{(-1)^{n-1} n!}{(n+1)!} + \frac{(-1)^{n-2} (n-1)!}{(n+1)!} + \frac{S_{n-2}}{(n+1)!}. un=(−1)n−1n+1+(−1)n−2n(n+1)+O(1n3)u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n+1} + \frac{(-1)^{n-2}}{n(n+1)} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). Chaque terme est le terme général d'une série convergente.
    La seˊrie converge\boxed{ \text{La série converge} }

  4. Posons f(x)=x−th x=exp⁡(−th xln⁡x)f(x) = x^{-\text{th } x} = \exp(-\text{th } x \ln x). La dérivée de −th xln⁡x-\text{th } x \ln x est −(1−th2x)ln⁡x−th xx-(1-\text{th}^2 x)\ln x - \frac{\text{th } x}{x}, qui est négative pour xx assez grand. La suite est donc décroissante vers 0. Par le CSSA :
    La seˊrie converge\boxed{ \text{La série converge} }

L'équivalent ne conserve pas la convergence pour les séries alternées

Décomposer u_n en un terme CSSA et un reste pour conclure