Séries et restes

Résolution.

1. Soit $u_n = 2^{-n}$. Alors $R_n = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{2^k} = \frac{1}{2^{n+1}} \frac{1}{1-1/2} = \frac{1}{2^n}$. On en déduit :
   $$v_n = \frac{2^{-n}}{(2^{-(n-1)})^\alpha} = \frac{2^{-n}}{2^{-\alpha n + \alpha}} = 2^{-\alpha} \cdot (2^{\alpha-1})^n$$
   C'est une série géométrique de raison $q = 2^{\alpha-1}$. Elle converge si et seulement si $2^{\alpha-1} < 1$, soit $\alpha-1 < 0$, donc $\boxed{\alpha < 1}$.

2. Pour $\alpha = 1$, on a $v_n = \frac{R_{n-1} - R_n}{R_{n-1}} = 1 - \frac{R_n}{R_{n-1}}$. Si $v_n$ ne tend pas vers $0$, la série diverge. Si $v_n \to 0$, alors $\ln(1-v_n) \sim -v_n$. Or :
   $$\sum_{k=1}^n \ln(1-v_k) = \sum_{k=1}^n (\ln(R_k) - \ln(R_{k-1})) = \ln(R_n) - \ln(R_0)$$
   Comme $R_n \to 0$, alors $\ln(R_n) \to -\infty$. La série $\sum \ln(1-v_n)$ diverge vers $-\infty$, donc :
   $$\boxed{\sum \frac{u_n}{R_{n-1}} \text{ diverge}}$$

3. Si $\alpha > 1$, comme $R_{n-1} \to 0$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $0 < R_{n-1} \leq 1$. Comme $\alpha > 1$, on a $R_{n-1}^\alpha \leq R_{n-1}$, d'où :
   $$v_n = \frac{u_n}{R_{n-1}^\alpha} \geq \frac{u_n}{R_{n-1}}$$
   Par comparaison avec le cas $\alpha=1$ traité précédemment, $\sum v_n$ diverge.

4. Soit $0 < \alpha < 1$. La fonction $t \mapsto t^{-\alpha}$ est décroissante. Pour $t \in [R_n, R_{n-1}]$, on a $t^{-\alpha} \geq R_{n-1}^{-\alpha}$. En intégrant :
   $$\int_{R_n}^{R_{n-1}} \frac{\mathrm{d}t}{t^\alpha} \geq \frac{R_{n-1} - R_n}{R_{n-1}^\alpha} = v_n$$
   Le calcul de l'intégrale donne :
   $$v_n \leq \frac{1}{1-\alpha} \left( R_{n-1}^{1-\alpha} - R_n^{1-\alpha} \right)$$
   Puisque $1-\alpha > 0$ et $R_n \to 0$, la série télescopique de terme général $(R_{n-1}^{1-\alpha} - R_n^{1-\alpha})$ converge. Par comparaison, $\boxed{\sum v_n \text{ converge}}$.