Profils de bosses et convergence uniforme

Résolution.

1. Étude de $f_n(x) = n^\alpha x e^{-nx$ :} Pour $x > 0$, $n^\alpha x e^{-nx} \xrightarrow{n \to \infty} 0$ par croissance comparée. En $x=0$, $f_n(0)=0$. La limite simple est la fonction nulle $f=0$. $f_n$ est dérivable et $f_n'(x) = n^\alpha e^{-nx}(1-nx)$. Le maximum est atteint en $x_n = 1/n$.
   $$\left\| f_n - 0 \right\|_\infty = f_n\left(\frac{1}{n}\right) = n^\alpha \frac{1}{n} e^{-1} = \frac{1}{e} n^{\alpha-1}$$
   La convergence est uniforme sur $[0, +\infty[$ si et seulement si $n^{\alpha-1} \to 0$, soit $\boxed{\alpha < 1}$. Si $\alpha \geq 1$, il y a CVU sur tout intervalle $[a, +\infty[$ avec $a > 0$ car pour $n$ assez grand, $1/n < a$ et $\|f_n\|_{\infty, [a, +\infty[} = f_n(a) \to 0$.

2. Étude de $f_n(x) = x^\alpha e^{-nx^2$ :} Si $\alpha = 0$, $f_n(x) = e^{-nx^2}$. La limite simple est $f(0)=1$ et $f(x)=0$ pour $x>0$. $f$ est discontinue, donc pas de CVU sur $[0, +\infty[$. Si $\alpha > 0$, la limite simple est $f=0$. Le maximum de $f_n$ est en $x_n = \sqrt{\frac{\alpha}{2n}}$.
   $$f_n(x_n) = \left(\frac{\alpha}{2n}\right)^{\alpha/2} e^{-\alpha/2} \xrightarrow{n \to \infty} 0$$
   La convergence est donc uniforme sur $[0, +\infty[$ pour tout $\alpha > 0$.

3. Étude de $f_n(x) = n x^n \ln(x)$ : La limite simple est $f=0$ sur $[0, 1]$. L'étude des variations de $f_n$ montre un extremum en $x_n$ tel que $x_n^n(1 + n\ln x_n) = 0$, soit $\ln x_n = -1/n$, donc $x_n = e^{-1/n} \to 1$.
   $$f_n(x_n) = n (e^{-1/n})^n (-1/n) = -e^{-1}$$
   La limite de la norme infinie ne tend pas vers 0. Pas de CVU sur $[0, 1]$. On a CVU sur $[0, a]$ pour tout $a < 1$.

4. Étude de $f_n(x) = \frac{x^n${1+x^{2n}} :} Si $|x| < 1$, $x^n \to 0$ donc $f_n(x) \to 0$. Si $|x| > 1$, $f_n(x) = \frac{x^{-n}}{1+x^{-2n}} \to 0$. Si $x = 1$, $f_n(1) = 1/2$. Si $x = -1$, $f_n(-1) = (-1)^n/2$ (pas de limite simple). La convergence simple n'a lieu que sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$. La limite est discontinue en $1$, donc pas de CVU sur un voisinage de $1$. On a CVU sur tout compact inclus dans $]-1, 1[$ ou $]-\infty, -1[$ ou $]1, +\infty[$.

5. Étude de $f_n(x) = (1+x/n)^n e^{-2x$ :} Pour $x \geq 0$ fixé, $n\ln(1+x/n) = n(x/n - x^2/2n^2 + o(1/n)) = x - \frac{x^2}{2n} + o(1/n)$.
   $$f_n(x) = e^{n\ln(1+x/n) - 2x} \xrightarrow{n \to \infty} e^{x-2x} = e^{-x}$$
   Pour l'uniformité, on utilise $u - u^2/2 \leq \ln(1+u) \leq u$ pour $u \geq 0$.
   $$0 \leq e^{-x} - f_n(x) = e^{-x} (1 - e^{n\ln(1+x/n) - x})$$
   Puisque $x - \frac{x^2}{2n} \leq n\ln(1+x/n) \leq x$, on a $1 - e^0 \leq 1 - e^{n\ln(1+x/n)-x} \leq 1 - e^{-x^2/2n}$.
   $$0 \leq e^{-x} - f_n(x) \leq e^{-x}(1 - e^{-x^2/2n})$$
   On conclut à la CVU sur $\mathbb{R}_+$ en découpant l'intervalle : pour $x > M$, $e^{-x}$ est petit, et pour $x \in [0, M]$, $1-e^{-x^2/2n}$ tend uniformément vers 0.