Oscillations et trigonométrie

Résolution.

1. Étude de $f_n(x) = \frac{\sin(nx)${n\sqrt{x}} :} Pour tout $x > 0$, $f_n(x) \to 0$. $f_n(0)=0$. La limite simple est $f=0$. Si $x \geq 1/n$, $|f_n(x)| \leq \frac{1}{n\sqrt{1/n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$. Si $0 < x < 1/n$, $|f_n(x)| \leq \frac{nx}{n\sqrt{x}} = \sqrt{x} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$. Dans les deux cas, $\|f_n\|_\infty \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. CVU sur $\mathbb{R$_+}.

2. Étude de $f_n(x) = \sin \sqrt{x+4n^2\pi^2$ :}
   $$\sqrt{x+4n^2\pi^2} = 2n\pi \sqrt{1 + \frac{x}{4n^2\pi^2}} = 2n\pi \left( 1 + \frac{x}{8n^2\pi^2} + O\left(\frac{1}{n^4}\right) \right) = 2n\pi + \frac{x}{4n\pi} + O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$
   Par périodicité du sinus : $f_n(x) = \sin\left(\frac{x}{4n\pi} + O(1/n^3)\right)$. Ainsi, $f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0$ pour tout $x$. Sur un compact $[a, b]$, le terme $x/4n\pi$ tend vers 0 uniformément. CVU sur tout compact.

3. Étude de $g_n(x) = \cos^n(x) \sin(x)$ : Si $x \in ]0, \pi/2]$, $\cos x \in [0, 1[$ donc $\cos^n x \to 0$. Si $x=0$, $\sin(0)=0$. Limite simple $g=0$. $g_n'(x) = \cos^{n-1}x(\cos^2 x - n\sin^2 x) = \cos^{n-1}x(1 - (n+1)\sin^2 x)$. Maximum en $\sin^2 x_n = \frac{1}{n+1}$. Alors $g_n(x_n) \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \left(1 - \frac{1}{2n}\right)^n \sim \frac{1}{\sqrt{ne}}$. Puisque $g_n(x_n) \to 0$, il y a CVU sur $[0, \pi/2]$.

4. Étude de $h_n(x) = \frac{\sin x \cos^n x${1-\cos x} :} Limite simple nulle sur $]0, \pi/2[$. En $x$ proche de 0, $h_n(x) \sim \frac{x \cdot 1}{x^2/2} = 2/x$. La fonction $h_n$ n'est pas bornée au voisinage de 0, donc pas de CVU sur $]0, \pi/2[$. CVU sur $[a, \pi/2[$ pour $a > 0$ car $|\cos x| \leq \cos a < 1$.

5. Étude de $i_n(x) = \frac{\sin x${x(1+nx)} :} En $x=0$, par prolongement $i_n(0) = 1$. Pour $x \in ]0, \pi]$, $i_n(x) \to 0$. La limite simple $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ est discontinue. Pas de CVU sur $[0, \pi]$. Mais pour $a > 0$, $|i_n(x)| \leq \frac{1}{1+na} \to 0$. CVU sur $[a, \pi]$.

6. Étude de $j_n(x) = \frac{\sin^2(nx)${n\sin x} :} Limite simple nulle. Cependant $j_n(1/n) = \frac{\sin^2(1)}{n\sin(1/n)} \xrightarrow{n \to \infty} \sin^2(1) \neq 0$. Pas de CVU sur $]0, \pi[$.

7. Étude de $k_n(x) = \sin\left(\frac{n+1${n}x\right) :} $k_n(x) = \sin(x + x/n) \to \sin(x)$. $|k_n(x) - \sin x| = 2 |\sin(x/2n) \cos(x + x/2n)| \leq 2 |x/2n| = |x|/n$. Sur un compact $[a, b]$, $|x|/n \leq \max(|a|, |b|)/n \to 0$. CVU sur tout compact.