Limites de régularité et fonctions rationnelles

On considère les suites de fonctions suivantes. Déterminer leur limite simple et étudier le caractère uniforme de la convergence.

$f_n(x) = \frac{xe^{nx}-1}{e^{nx}+1}$ sur $\mathbb{R}$ .
$f_n(x) = \exp((1-i)nx)$ sur $\mathbb{R}$ (valeurs dans $\mathbb{C}$ ).
$g_n(x) = x \frac{1-a^{-nx}}{1-a^x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ , avec $a > 0$ fixé.
$h_n(x) = \frac{n^2x}{n^2+x^2}$ sur $\mathbb{R}$ .
$i_n(x) = \sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}$ sur $\mathbb{R}$ .
$j_n(x) = x^2 e^{-\sin(x/n)}$ sur $\mathbb{R}$ .
$k_n(x) = n x^{n+1} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{x^n}{2n+1} \right)$ sur $[0, 1]$ .

1.

Pour (1), regarder les limites en $+\infty$ , $-\infty$ et la valeur en $0$ .

2.

Pour (3), discuter selon que $a > 1$ ou $a < 1$ .

3.

Pour (5), utiliser la quantité conjuguée pour majorer l'écart à la limite $|x|$ .

Idées clés

•

Analyse des points de discontinuité de la limite simple.

•

Utilisation de l'inégalité triangulaire et des majorations classiques ( $|e^{i\theta}|=1$ ).

Résolution.

Étude de $f_n(x) = \frac{xe^{nx$ -1}{e^{nx}+1} $f_{n} (x) = \frac{x e ^{n x} - 1}{e ^{n x} + 1}$ :} Si $x > 0$ , $e^{nx} \to +\infty$ , donc $f_n(x) \sim \frac{xe^{nx}}{e^{nx}} = x$ . Si $x = 0$ , $f_n(0) = \frac{-1}{2}$ . Si $x < 0$ , $e^{nx} \to 0$ , donc $f_n(x) \to -1$ . La limite simple est discontinue en 0. Pas de CVU sur $\mathbb{R$ $R$ }. On a CVU sur $]-\infty, -a]$ et $[a, +\infty[$ pour $a > 0$ .
Étude de $f_n(x) = e^{nx$ e^{-inx} $f_{n} (x) = e^{n x} e^{- in x}$ :} Si $x > 0$ , $|f_n(x)| = e^{nx} \to +\infty$ : pas de convergence simple. Si $x = 0$ , $f_n(0) = 1 \to 1$ . Si $x < 0$ , $|f_n(x)| = e^{nx} \to 0$ , donc $f_n(x) \to 0$ . Convergence simple sur $]-\infty, 0]$ . Limite discontinue en 0. CVU sur $]-\infty, -a]$ pour $a > 0$ .
Étude de $g_n(x) = x \frac{1-a^{-nx$ }{1-a^x} $g_{n} (x) = x \frac{1 - a ^{- n x}}{1 - a ^{x}}$ :} Si $a \leq 1$ , la suite diverge pour $x > 0$ . Si $a > 1$ , $a^{-nx} \to 0$ , donc $g_n(x) \to \frac{x}{1-a^x}$ . L'écart est $g_n(x) - g(x) = \frac{-x a^{-nx}}{1-a^x}$ . En $x=1/n$ , l'écart tend vers $\frac{1/n \cdot a^{-1}}{-\ln(a)/n} = \frac{-1}{a\ln a} \neq 0$ . Pas de CVU sur $]0, +\infty[$ , mais CVU sur $[b, +\infty[$ .
Étude de $h_n(x) = \frac{n^2x$ {n^2+x^2} $h_{n} (x) = \frac{n ^{2} x}{n ^{2} + x ^{2}}$ :} Limite simple $h(x) = x$ . Écart : $|h_n(x) - x| = \left| \frac{-x^3}{n^2+x^2} \right|$ . Pour $n$ fixé, cet écart tend vers $+\infty$ quand $x \to \infty$ . Pas de CVU sur $\mathbb{R$ $R$ }. Mais sur un compact $[-A, A]$ , $|h_n(x) - x| \leq \frac{A^3}{n^2} \to 0$ : CVU sur tout compact.
Étude de $i_n(x) = \sqrt{x^2+1/n^2$ $i_{n} (x) = x^{2} + 1/ n^{2}$ :} Limite simple $|x|$ . Écart : $\sqrt{x^2+1/n^2} - |x| = \frac{1/n^2}{\sqrt{x^2+1/n^2} + |x|} \leq \frac{1/n^2}{1/n} = \frac{1}{n}$ L'écart est majoré par $1/n$ indépendamment de $x$ . CVU sur $\mathbb{R$ $R$ }.
Étude de $j_n(x) = x^2 e^{-\sin(x/n)$ $j_{n} (x) = x^{2} e^{- s i n (x / n)}$ :} Pour $x$ fixé, $\sin(x/n) \to 0$ , donc $j_n(x) \to x^2$ . Comme en (4), pour $n$ fixé, l'écart $|x^2(e^{-\sin(x/n)} - 1)|$ n'est pas borné sur $\mathbb{R}$ . CVU sur tout compact.
Étude de $k_n(x) = n x^{n+1$ \left( \frac{1}{n+1} - \frac{x^n}{2n+1} \right) $k_{n} (x) = n x^{n + 1} (\frac{1}{n + 1} - \frac{x ^{n}}{2 n + 1})$ :} Si $x < 1$ , $x^n \to 0$ et $n x^{n+1} \to 0$ , donc $k_n(x) \to 0$ . Si $x = 1$ , $k_n(1) = n \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{n^2}{(n+1)(2n+1)} \to \frac{1}{2}$ . La limite est discontinue en 1. Pas de CVU sur $[0, 1]$ .

Négliger le comportement à l'infini pour les fonctions rationnelles.

La CVU préserve la continuité mais pas la dérivabilité.