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Convergence uniforme et condition de bord

convergence uniformedécoupage d'intervallefonctions bornéesDécoupage epsilon/2Continuité

Soit (fn)n∈N(f_n)_{n \in \mathbb{N}} une suite de fonctions de [0,1][0,1] dans R\mathbb{R} satisfaisant les deux conditions suivantes :

  1. La suite est uniformément bornée : ∃M>0,∀n∈N,∥fn∥∞≤M\exists M > 0, \forall n \in \mathbb{N}, \|f_n\|_\infty \leq M.
  2. La suite (fn)(f_n) converge uniformément vers la fonction nulle sur tout segment [0,a][0, a] où a∈[0,1[a \in [0, 1[.

Soit φ:[0,1]→R\varphi : [0, 1] \to \mathbb{R} une fonction continue telle que φ(1)=0\varphi(1) = 0. Démontrer que la suite produit (fnφ)n∈N(f_n \varphi)_{n \in \mathbb{N}} converge uniformément vers la fonction nulle sur [0,1][0, 1].

1.

Utiliser le caractère borné de fnf_n et la petitesse de φ\varphi au voisinage de 11.

2.

Découper l'intervalle [0,1][0, 1] en [0,1−δ][0, 1-\delta] et [1−δ,1][1-\delta, 1] pour un δ\delta bien choisi.

Idées clés

•

Découpage "ϵ/2\epsilon/2".

•

Utilisation de la continuité de φ\varphi en 11.

•

Exploitation de la convergence uniforme locale.

Résolution.

Soit ϵ>0\epsilon > 0. Nous voulons montrer qu'il existe un rang NN tel que pour tout n≥Nn \geq N, ∥fnφ∥∞≤ϵ\|f_n \varphi\|_\infty \leq \epsilon.

Étape 1 : Contrôle au voisinage de 1.

Puisque φ\varphi est continue en 11 et φ(1)=0\varphi(1) = 0, il existe δ∈]0,1[\delta \in ]0, 1[ tel que :

∀x∈[1−δ,1],∣φ(x)∣≤ϵM\forall x \in [1-\delta, 1],   |\varphi(x)| \leq \frac{\epsilon}{M}

où MM est le majorant uniforme des ∥fn∥∞\|f_n\|_\infty donné par l'hypothèse (i). Alors, pour tout n∈Nn \in \mathbb{N} et pour tout x∈[1−δ,1]x \in [1-\delta, 1] :

∣fn(x)φ(x)∣≤∣fn(x)∣⋅∣φ(x)∣≤M⋅ϵM=ϵ|f_n(x) \varphi(x)| \leq |f_n(x)| \cdot |\varphi(x)| \leq M \cdot \frac{\epsilon}{M} = \epsilon

Étape 2 : Contrôle sur le segment éloigné de 1.

Considérons maintenant l'intervalle J=[0,1−δ]J = [0, 1-\delta]. Par hypothèse (ii), la suite (fn)(f_n) converge uniformément vers 00 sur ce segment. De plus, φ\varphi étant continue sur le segment [0,1][0, 1], elle y est bornée par un certain K=max⁡x∈[0,1]∣φ(x)∣K = \max_{x \in [0,1]} |\varphi(x)|.

Il existe un rang NN tel que pour tout n≥Nn \geq N :

∀x∈J,∣fn(x)∣≤ϵK+1\forall x \in J,   |f_n(x)| \leq \frac{\epsilon}{K + 1}

Ainsi, pour tout n≥Nn \geq N et pour tout x∈[0,1−δ]x \in [0, 1-\delta] :

∣fn(x)φ(x)∣≤ϵK+1⋅K≤ϵ|f_n(x) \varphi(x)| \leq \frac{\epsilon}{K+1} \cdot K \leq \epsilon

Étape 3 : Conclusion.

En combinant les deux étapes, on a pour tout n≥Nn \geq N :

∀x∈[0,1],∣fn(x)φ(x)∣≤ϵ\forall x \in [0, 1],   |f_n(x) \varphi(x)| \leq \epsilon

Ce qui prouve que sup⁡x∈[0,1]∣fn(x)φ(x)∣≤ϵ\sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) \varphi(x)| \leq \epsilon pour n≥Nn \geq N. On conclut :

fnφ→CU0 sur [0,1]\boxed{f_n \varphi \xrightarrow{CU} 0 \text{ sur } [0,1]}

Oublier l'importance du caractère uniformément borné de la suite de fonctions.

Le découpage d'intervalle est la méthode standard pour gérer un défaut de convergence uniforme au bord d'un domaine.